| 开本：16开 |
| 纸张：胶版纸 |
| 包装：平装 |
| 是否套装：否 |
| 国际标准书号ISBN：9787521773286 |
| 所属分类：图书>传记>教育家 |
商品详情
学问、文化与美——谈中学教育
今天非常高兴能来到北京师范大学附属中学。北京师范大学附属中学是一所历史非常悠久的学校，到今年已经成立 周年了，在历史上培养了很多人才，我在这里表示钦佩。中学是培养人才的非常重要的阶段，所以我非常愿意和中学生交流。由于中学生数学奖的评选，我也了解了国内中学的一些情况，总的来说很不错，但也有一些需要改进的地方。其实我没有受过教师的训练，也没有在中学教过书，我今天来到这里，主要想结合我自己的亲身经历来谈谈我对中学教育，尤其是中学数学教育的看法。
启蒙教育往往奠定一生事业的基础
一个中学生首先受到的教育是家庭教育，所以我结合个人的成长经验先谈谈家庭教育。
我在 年通过考试到香港培正中学读书，培正中学是一所非常有名的学校。而我的小学教育是在香港的乡村完成的，连基本的英文和算术都不够水平，所以念中学一年级需要比较用功才能追上培正的课程。但是，我在乡下的学校闲散惯了，始终提不起很大的兴趣念书。当时的班主任是一位叫叶息机的女老师，培正当时每学期有三段考试，每段结束时，老师会写评语。一期叶老师说我多言多动，第二期说我仍多言多动，后一期结语说略有进步，可见我当时读书的光景。
所幸先父母对我管教甚严。先父丘镇英， 年厦门大学政治经济学专业毕业，翌年进入日本早稻田大学大学院深造，专攻政治制度与政治思想史。先父当学院教授的时候，学生常到家中论学，使我感受良多。我 岁时，父亲要求我和我的大哥练习柳公权的书法，念唐诗、宋词，背诵古文。这些文章到现在我还可以背下来，做学问和做人的态度，在我的文章中都体现了出来。
我们爱看武侠小说，父亲觉得这些小说素质不高，便买了很多章回小说，还要求孩子们背诵里面的诗词，比如《红楼梦》里的诗词。后来，父亲还让我读鲁迅、王国维、冯友兰等人的著作，以及西方的书籍，如歌德的《浮士德》等。这些书看起来与我后来研究的数学没有什么关系，但这些著作中蕴含的思想对我后来的研究产生了深刻的影响。
我小时候家里很穷，虽然父亲是大学教师，但薪水很低，家里入不敷出。我至今非常感激父母从来没有鼓励我为了追求物质生活而读书，而总是希望我们有一个崇高的志愿。他在哲学上的看法，尤其是述说希腊哲学家的操守和寻求大自然的真和美，使我觉得数学是一个高尚而雅致的学科。父亲在所著《西洋哲学史》的引言中引用了《文心雕龙·诸子篇》的一段：“嗟夫，身与时舛，志共道申，标心于万 古之上，而送怀于千载之下。”这一段话激励我，使我立志清高，也希望有所创作，能够传诸后世。我父亲一直关心着国家大事，常常教育子女，做人立志须以国家为前提。我也很喜欢读司马迁的作品，他的“究天人之际”正可以来描述一个读书人应有的志向。
一位学者的成长就像鱼在水中游泳，鸟在空中飞翔，树在林中长大一样，受到周边环境的影响。历史上未曾出现过一位大科学家在没有文化的背景下能够做出伟大发明的。比如，爱因斯坦年轻时受到的都是流的教育。
一位成功的学者需要吸收历史上累积的成果，并且与当代的学者切磋并产生共鸣。人生很短，无论一个人多聪明、多有天分，都不可能漠视几千年来伟大学者共同努力得来的成果。这是人类了解大自然、了解人生、了解人际关系累积下来的经验，不是一朝一夕所能够成就的，所以一个人小的时候博览群书是非常重要的。有人自认为天赋很高，不读书就可以做出很多题，这在我看来是没有意义的。四十多年多来，我所接触的世界上知名的数学家、物理学家、社会学家中还没有这样的天才。
近有一位日本 后作家加藤嘉一在新书《中国的逻辑》中谈到在中国，知识非常廉价。中国的物价、房价都在涨，独书价不涨。书价便宜的原因是买书的人少。中国的文化是很深厚的，如果你们青年人不读书，几千年的文化就不能传承。不论经济怎么发展，但文化不发展，中国都不可能成为大国。所以我希望大家多看书，看有意义的书，这是一件有意义的事情。
在小学学习的数学不能引起我的兴趣，除了简单的四则运算外，就是鸡兔同笼等问题，因此我将大部分时间花在看书和到山间田野去玩耍，也背诵先父教导的古文和诗词，反而有益身心。
初中一年级，我开始学习线性方程。从前用公式解答鸡兔同笼问题，现在可以用线性方程组来解答了，不用记公式，而是做一些有挑战性的事情。这让我觉得很兴奋，学习成绩也比小学的时候好。我父亲在我读 年级（初中三年级）的时候就去世了。先父的去世使我们一家陷入了困境。但母亲坚持认为，孩子们应该继续完成学业。尽管当时我有政府的奖学金，但仍不够支付我有的费用。因此，我利用业余时间给孩子子做家教挣钱。
我参考了历史上著名学者的生平，发现大部分成名的学者都有良好的家庭背景。人的成长规律很多，原因也很多，相关的学术观点也莫衷一是。但良好的家教，无论如何都是非常重要的。童年的教育对一个孩子的影响是重要的，启蒙教育是不可替代的，它往往奠定了一生事业的基础。虽然一位家长可能受教育的程度不高，但他在孩子很小的时候仍然能够培养孩子的学习习惯，激发孩子的学习乐趣。对孩子们来说，学到多少知识并不是重要的，兴趣的培养才是决定其终身事业的关键。我小学的成绩并不理想，但我父亲培养了我学习的兴趣，这种兴趣成为我一生中永不枯竭的动力，可以学到任何想学的东西。相比之下，中国式的教育往往注重知识的灌输，而忽略了孩子们兴趣的培养，甚至有的人终其一生都没有领略到做学问的兴趣。
无论如何，学生回家以后，一定要有温习的空间和时间；遇到挫的时候，需要家长的安慰和鼓励。这是很重要的事情。
另外，家长和老师需要有一个良好的交流渠道，才会知道孩子遇到的问题。现在有些家长都在做事，没有时间教导小孩，听任小孩放纵，却要求学校负责孩子的一切，这是不负责任的。反过来说，由于现在大多数家庭只有一个小孩，因此父母很宠爱小孩，望子成龙。很多家长对小孩期望太高，往往要求他们读一些超乎他们能力的课程。略有成就，就说他们的孩子是天才，却不知道这是害了孩子。每个人应该努力了解自己的能力，努力学习。
平面几何提供了中学期间一的逻辑训练
平面几何的学习是我个人数学生涯的开始。初中二年级学习平面几何时，我一次接触到简洁优雅的几何定理，这使我赞叹几何的美丽。欧氏《几何原本》流传两千多年，是一部流传之广仅次于《圣经》的著作。这是有它的理由的，它影响了整个西方科学的发展。世纪，牛顿的名著《自然哲学的数学原理》的想法，就是由欧氏几何的推理方法来构想的。用三个力学原理推导星体的运行，开近代科学的先河。到近代，爱因斯坦的统一场论的基本想法用的是欧氏几何的想法的。
平面几何所提供的不单是漂亮而重要的几何定理，更重要的是它提供了在中学期间一的逻辑训练，是每一个年轻人所需的知识。一个很有名的例子，江泽民主席在澳门濠江中学提出的五点共圆的问题。我一次听说非常有意思，很多人都从基本定理出发推导这个定理。我很惊讶地听说，很多数学教育家们坚持不教证明，原因是学生们不容易接受这种思考。诚然，一个没有经过逻辑思想训练的学生接受这种训练是有代价的，怎样训练逻辑思考是比中学学习其他学科更为重要的问题。将来无论你是做科学家，做政治家，还是做一名成功的商人，都需要有系统的逻辑训练，我希望我们中学把这种逻辑训练继续下去。中国科学的发展都与这个有关。
明朝时，利玛窦与徐光启翻译了《几何原本》这本书。徐光启认为，这本书的伟大在于一环扣一环，能够将数学解释得清楚明了，是了不起的著作。刚开始，中国数学家不能接受，到清朝康熙年间的几何只讲定理的内容，不讲证明，这影响了中国近代科学的发展。
几何学影响近代科学的发展，包括工程学、物理学等，其中一个极为重要的概念就是对称。希腊人喜爱柏拉图多面体，就是因为它们具有好的对称性。他们甚至把它们与宇宙的五个元素联系起来
●火—正四面体
●土—正六面体
●气—正八面体
●水—正二十面体
●正十二面体代表第五元素，乃是宇宙的基本要素。
虽然这种解释大自然的方法并不成功，但对称的观念自始至终地左右了物理学的发展，并终于演化成群的观念。到 世纪，影响高能物理的计算以及基本观点的形成，这个概念今天已经贯穿到现代数学和物理及其他自然科学和工程应用等许多领域。
我个人认为，即便在目前应试教育的非理想框架下，有条件的、好的学生也应该在中学时期就学习并掌握微积分及群的基本概念，并将它们运用到对中学数学和物理等的学习和理解中去。牛顿等人因为物理学的需要而发现了微积分。而我们中学物理课为什么难教难学，恐怕主要原因是要避免用到微积分和群论，并为此绞尽脑汁。这等于是背离了物理学发展的自然和历史的规律。
至于三角代数方程、概率论和简单的微积分，都是重要的学科，这对于以后想学理工科或经济金融的学生都极为重要。
音乐、美术、体育对学问和人格训练都至为重要
我还想谈谈音乐、美术、体育以及这些课程与数学的关系。柏拉图在《理想国》中以体育和音乐为教育之基，体能的训练让我们能够集中精神，音乐和美术则能陶冶性情。古希腊人和儒家教育都注重这两方面的训练，它们对学问和人格训练至为重要。
从表面上看，音乐的美是用耳朵来感受的，美术的美是用眼睛来感觉的，但对美的感觉都是一种身心感受，数学本身就是追求美的过程。 世纪伟大的法国几何学家埃利·嘉当（ ）也说：“在听数学师演说数学时，我感觉到一片的平静和有着纯真的喜悦。这种感觉大概就如贝多芬在作曲时让音乐在他灵魂深处表现出来一样。”
美术是以一定的物质材料，塑造可视的平面或立体形象，以反映客观世界和表达对客观世界的感受的一种艺术形式。而几何也是描述我们看到的、心里感受到的形象。而数学家也极为注重美的追求，也注意到美的表现。伟大的数学家、物理学家赫尔曼·外尔说过：“假如我要在大自然的真和数学里面的美做一个选择的话，我宁愿选择美。”幸运的是：自然界的真往往是极为美妙的。真的要做点学问的话，就要懂得什么叫美，如何在各种现象中找到美的感觉，数学的定理有几万，如何选择完全凭个人的训练感受。
普林斯顿高等研究院的徽章就体现了真和美，左手面是裸体的神，右手面是穿着衣服的神。无论文学家、美术家、音乐家还是数学家，都在不断地发掘美，表达他们从大自然中感受到的美。一位画家要画山水画，到三峡到泰山到喜马拉雅山看到的风景是不同的，你没有去过一切都是空谈。我们看某个风景的图片和自去感受是不同的，所以做学问也是同样的道理，只有身临其境才知道什么是真的好，是真的美。
现在来谈谈体育。希腊哲学也好，儒家哲学也好，都注重体魄的训练。亚里士多德认为，希腊人有超卓的意志（ ），意指希腊人昂昂然若千里之驹，自视甚尊，怜人而不为人怜，奴人而不为人奴。正如孟子所谓“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”。做学问的人也要有这样的气概。综观古今，大部分数学家的主要贡献都在年轻时代，这点与青年人有良好的体魄有关。有了良好的体魄，在解决问题时，才能集中精神。重要的问题往往要经过年持久地集中精力才能够解决。正如荷马史诗里描述的英雄，不怕艰苦，勇往直前，又如玄奘西行，有好的体魄才能成功。
学习的过程不见得都是渐进，有时也容许突进
现在有很多教育家反对学生记熟一些公式，凡事都需由基本原理来推导，我想这是一个很错误的想法。对于有些事情来说，推导比结论更重要，但有些时候是不可能这样做的。做学问往往是在前人的基础上发展。我们不可能什么都懂，须基于前人做过的学问来发展，通过反复思考前人的学问才能理解对整个学问的宏观看法。跳着发展，再反思前人的成果。当年我们都背乘数表，而事实上，任何一位科学家都懂得如何去推导乘数表，物理学家或工程学家大量利用数学家推导的数学公式而不产生疑问，然而，科学还是不停地进步。可见学习的过程不见得都是渐进的，有时也容许突进。我讲这个例子不是让大家偷懒，不会就算了，而是希望大家不要因为有些不懂就放弃，就停滞不前。
举一个有名的例子，那就是 （θ） θ θ，三角函数中比较重要的定理都可以由这个公式推导。我们不难推导它，但有些学者坚持中学生要找到它的直观意义，可能你找不到直观意义，但可以一步一步推导，推导以后就可以向前研究了。
很多中学不教微积分，其实中世纪科学革命的基础在于微积分的建立，而我们的孩子不懂得微积分，等于是回到中世纪以前的黑暗时代，实在可惜。
我听说很多小学或是中学的老师希望学生用规定的方法学习，得到老师规定的答案才给满分，我觉得这是错误的。数学题的解法有很多，比如勾股定理的证明方法至少有几十种，不同的证明方法帮助我们理解定理的内容。 世纪的数学家高斯用不同的方法构造正十七边形，不同的方法来自不同的想法，不同的想法导致不同方向的发展。所以数学题的每种解法有其深厚的意义，你会领会不同的思想，所以我们要允许学生用不同的方法来解决。
实际上，很多工程师甚至物理学家有时并不严格地理解他们用来解决他们问题的方法，但他们知道如何去用这个方法。对于那些关心如何严格推导数学方法的数学家来说，很多时候也是知道结果然后去推导，所以我们要明白学习的方法有时候需要倒过来考虑问题，先知道做什么，再知道为什么这样做。要灵活处理这些关系。
我们需要有新的能量使他跳跃
物理学的基本定律说物体总是寻找低能量的状态，在这种状态下才是稳定的。你们的学习态度包括我自己基本也有同样的状况。人总是希望找到各种理由，使得有时间去做他喜欢的事。就如电子在一定轨道上运行，因为这是它的能量所容许的，但有其他能量激发这些电子后，它可以跳跃。对孩子的学习，我们也需要有新的能量激发，使他跳跃。
这种激发除了考试的分数，也来自老师的课堂教学，例如一些有趣的问题，或者非常有名的数学家的故事，都会引起学生的兴趣，学生都喜欢听故事。历史上有趣的故事有很多，值得学生学习。
美国的中学注重通才教育，数学以外的学科，例如文学、物理学、哲学，都会刺激学生的思考力，值得鼓励。
中小学要特别注重对学生独立人格和品性的培养
假如学生在学校里不能学习与人相处，并享受到它的好处，不如在家里请一位家庭教师来教导。现代社会是一个合群的社会，学生须学习与同学相处，并尊重有能力有学问的老师和同学。学生须懂得如何尊重同学的长处，帮助有需要的同学。学生要培养与他人沟通合作的能力、独立思考的能力、团队协作的精神，对周围人和对社会的责任感等，并在这种环境中去训练自己。
美国的教学体系有很多值得我们学习的地方，虽然它不是一个理想化的体系。比如美国的高中和大学不给出分数，只给出 、、、。这不是一件坏事，因为它可以削弱学生之间不要的竞争。为分数的斤斤计较以及争夺班里的一名，会破坏学生之间的合作，集体的力量得不到尊重。中小学教育里特别注重于对学生独立人格和品性的培养，学生的个性和个人特点也受到充分的尊重和肯定。不少学校把对个人品德的要求按一个字母缩写成 （荣誉），即（坚持）、（尊重）、（正直）、（勤奋）、（优秀），作为学生自我要求的基本要点。这种美德的评价要尊重人的本性。对于学生本人，要形成自己独立的价值观。
对中学生来说，永葆一颗纯真的童心，保持人与生俱来的求知欲和创造能力，展示自己的个性，这对今后的学习和工作是至关重要的。衷心地希望在座的各位可爱的孩子快快乐乐、健康地成长。
▼本文为 年，我在北京师范大学附属中学的演讲。
学问、文化与美——谈中学教育
今天非常高兴能来到北京师范大学附属中学。北京师范大学附属中学是一所历史非常悠久的学校，到今年已经成立 周年了，在历史上培养了很多人才，我在这里表示钦佩。中学是培养人才的非常重要的阶段，所以我非常愿意和中学生交流。由于中学生数学奖的评选，我也了解了国内中学的一些情况，总的来说很不错，但也有一些需要改进的地方。其实我没有受过教师的训练，也没有在中学教过书，我今天来到这里，主要想结合我自己的亲身经历来谈谈我对中学教育，尤其是中学数学教育的看法。
启蒙教育往往奠定一生事业的基础
一个中学生首先受到的教育是家庭教育，所以我结合个人的成长经验先谈谈家庭教育。
我在 年通过考试到香港培正中学读书，培正中学是一所非常有名的学校。而我的小学教育是在香港的乡村完成的，连基本的英文和算术都不够水平，所以念中学一年级需要比较用功才能追上培正的课程。但是，我在乡下的学校闲散惯了，始终提不起很大的兴趣念书。当时的班主任是一位叫叶息机的女老师，培正当时每学期有三段考试，每段结束时，老师会写评语。一期叶老师说我多言多动，第二期说我仍多言多动，后一期结语说略有进步，可见我当时读书的光景。
所幸先父母对我管教甚严。先父丘镇英， 年厦门大学政治经济学专业毕业，翌年进入日本早稻田大学大学院深造，专攻政治制度与政治思想史。先父当学院教授的时候，学生常到家中论学，使我感受良多。我 岁时，父亲要求我和我的大哥练习柳公权的书法，念唐诗、宋词，背诵古文。这些文章到现在我还可以背下来，做学问和做人的态度，在我的文章中都体现了出来。
我们爱看武侠小说，父亲觉得这些小说素质不高，便买了很多章回小说，还要求孩子们背诵里面的诗词，比如《红楼梦》里的诗词。后来，父亲还让我读鲁迅、王国维、冯友兰等人的著作，以及西方的书籍，如歌德的《浮士德》等。这些书看起来与我后来研究的数学没有什么关系，但这些著作中蕴含的思想对我后来的研究产生了深刻的影响。
我小时候家里很穷，虽然父亲是大学教师，但薪水很低，家里入不敷出。我至今非常感激父母从来没有鼓励我为了追求物质生活而读书，而总是希望我们有一个崇高的志愿。他在哲学上的看法，尤其是述说希腊哲学家的操守和寻求大自然的真和美，使我觉得数学是一个高尚而雅致的学科。父亲在所著《西洋哲学史》的引言中引用了《文心雕龙·诸子篇》的一段：“嗟夫，身与时舛，志共道申，标心于万 古之上，而送怀于千载之下。”这一段话激励我，使我立志清高，也希望有所创作，能够传诸后世。我父亲一直关心着国家大事，常常教育子女，做人立志须以国家为前提。我也很喜欢读司马迁的作品，他的“究天人之际”正可以来描述一个读书人应有的志向。
一位学者的成长就像鱼在水中游泳，鸟在空中飞翔，树在林中长大一样，受到周边环境的影响。历史上未曾出现过一位大科学家在没有文化的背景下能够做出伟大发明的。比如，爱因斯坦年轻时受到的都是流的教育。
一位成功的学者需要吸收历史上累积的成果，并且与当代的学者切磋并产生共鸣。人生很短，无论一个人多聪明、多有天分，都不可能漠视几千年来伟大学者共同努力得来的成果。这是人类了解大自然、了解人生、了解人际关系累积下来的经验，不是一朝一夕所能够成就的，所以一个人小的时候博览群书是非常重要的。有人自认为天赋很高，不读书就可以做出很多题，这在我看来是没有意义的。四十多年多来，我所接触的世界上知名的数学家、物理学家、社会学家中还没有这样的天才。
近有一位日本 后作家加藤嘉一在新书《中国的逻辑》中谈到在中国，知识非常廉价。中国的物价、房价都在涨，独书价不涨。书价便宜的原因是买书的人少。中国的文化是很深厚的，如果你们青年人不读书，几千年的文化就不能传承。不论经济怎么发展，但文化不发展，中国都不可能成为大国。所以我希望大家多看书，看有意义的书，这是一件有意义的事情。
在小学学习的数学不能引起我的兴趣，除了简单的四则运算外，就是鸡兔同笼等问题，因此我将大部分时间花在看书和到山间田野去玩耍，也背诵先父教导的古文和诗词，反而有益身心。
初中一年级，我开始学习线性方程。从前用公式解答鸡兔同笼问题，现在可以用线性方程组来解答了，不用记公式，而是做一些有挑战性的事情。这让我觉得很兴奋，学习成绩也比小学的时候好。我父亲在我读 年级（初中三年级）的时候就去世了。先父的去世使我们一家陷入了困境。但母亲坚持认为，孩子们应该继续完成学业。尽管当时我有政府的奖学金，但仍不够支付我有的费用。因此，我利用业余时间给孩子子做家教挣钱。
我参考了历史上著名学者的生平，发现大部分成名的学者都有良好的家庭背景。人的成长规律很多，原因也很多，相关的学术观点也莫衷一是。但良好的家教，无论如何都是非常重要的。童年的教育对一个孩子的影响是重要的，启蒙教育是不可替代的，它往往奠定了一生事业的基础。虽然一位家长可能受教育的程度不高，但他在孩子很小的时候仍然能够培养孩子的学习习惯，激发孩子的学习乐趣。对孩子们来说，学到多少知识并不是重要的，兴趣的培养才是决定其终身事业的关键。我小学的成绩并不理想，但我父亲培养了我学习的兴趣，这种兴趣成为我一生中永不枯竭的动力，可以学到任何想学的东西。相比之下，中国式的教育往往注重知识的灌输，而忽略了孩子们兴趣的培养，甚至有的人终其一生都没有领略到做学问的兴趣。
无论如何，学生回家以后，一定要有温习的空间和时间；遇到挫的时候，需要家长的安慰和鼓励。这是很重要的事情。
另外，家长和老师需要有一个良好的交流渠道，才会知道孩子遇到的问题。现在有些家长都在做事，没有时间教导小孩，听任小孩放纵，却要求学校负责孩子的一切，这是不负责任的。反过来说，由于现在大多数家庭只有一个小孩，因此父母很宠爱小孩，望子成龙。很多家长对小孩期望太高，往往要求他们读一些超乎他们能力的课程。略有成就，就说他们的孩子是天才，却不知道这是害了孩子。每个人应该努力了解自己的能力，努力学习。
平面几何提供了中学期间一的逻辑训练
平面几何的学习是我个人数学生涯的开始。初中二年级学习平面几何时，我一次接触到简洁优雅的几何定理，这使我赞叹几何的美丽。欧氏《几何原本》流传两千多年，是一部流传之广仅次于《圣经》的著作。这是有它的理由的，它影响了整个西方科学的发展。世纪，牛顿的名著《自然哲学的数学原理》的想法，就是由欧氏几何的推理方法来构想的。用三个力学原理推导星体的运行，开近代科学的先河。到近代，爱因斯坦的统一场论的基本想法用的是欧氏几何的想法的。
平面几何所提供的不单是漂亮而重要的几何定理，更重要的是它提供了在中学期间一的逻辑训练，是每一个年轻人所需的知识。一个很有名的例子，江泽民主席在澳门濠江中学提出的五点共圆的问题。我一次听说非常有意思，很多人都从基本定理出发推导这个定理。我很惊讶地听说，很多数学教育家们坚持不教证明，原因是学生们不容易接受这种思考。诚然，一个没有经过逻辑思想训练的学生接受这种训练是有代价的，怎样训练逻辑思考是比中学学习其他学科更为重要的问题。将来无论你是做科学家，做政治家，还是做一名成功的商人，都需要有系统的逻辑训练，我希望我们中学把这种逻辑训练继续下去。中国科学的发展都与这个有关。
明朝时，利玛窦与徐光启翻译了《几何原本》这本书。徐光启认为，这本书的伟大在于一环扣一环，能够将数学解释得清楚明了，是了不起的著作。刚开始，中国数学家不能接受，到清朝康熙年间的几何只讲定理的内容，不讲证明，这影响了中国近代科学的发展。
几何学影响近代科学的发展，包括工程学、物理学等，其中一个极为重要的概念就是对称。希腊人喜爱柏拉图多面体，就是因为它们具有好的对称性。他们甚至把它们与宇宙的五个元素联系起来
●火—正四面体
●土—正六面体
●气—正八面体
●水—正二十面体
●正十二面体代表第五元素，乃是宇宙的基本要素。
虽然这种解释大自然的方法并不成功，但对称的观念自始至终地左右了物理学的发展，并终于演化成群的观念。到 世纪，影响高能物理的计算以及基本观点的形成，这个概念今天已经贯穿到现代数学和物理及其他自然科学和工程应用等许多领域。
我个人认为，即便在目前应试教育的非理想框架下，有条件的、好的学生也应该在中学时期就学习并掌握微积分及群的基本概念，并将它们运用到对中学数学和物理等的学习和理解中去。牛顿等人因为物理学的需要而发现了微积分。而我们中学物理课为什么难教难学，恐怕主要原因是要避免用到微积分和群论，并为此绞尽脑汁。这等于是背离了物理学发展的自然和历史的规律。
至于三角代数方程、概率论和简单的微积分，都是重要的学科，这对于以后想学理工科或经济金融的学生都极为重要。
音乐、美术、体育对学问和人格训练都至为重要
我还想谈谈音乐、美术、体育以及这些课程与数学的关系。柏拉图在《理想国》中以体育和音乐为教育之基，体能的训练让我们能够集中精神，音乐和美术则能陶冶性情。古希腊人和儒家教育都注重这两方面的训练，它们对学问和人格训练至为重要。
从表面上看，音乐的美是用耳朵来感受的，美术的美是用眼睛来感觉的，但对美的感觉都是一种身心感受，数学本身就是追求美的过程。 世纪伟大的法国几何学家埃利·嘉当（ ）也说：“在听数学师演说数学时，我感觉到一片的平静和有着纯真的喜悦。这种感觉大概就如贝多芬在作曲时让音乐在他灵魂深处表现出来一样。”
美术是以一定的物质材料，塑造可视的平面或立体形象，以反映客观世界和表达对客观世界的感受的一种艺术形式。而几何也是描述我们看到的、心里感受到的形象。而数学家也极为注重美的追求，也注意到美的表现。伟大的数学家、物理学家赫尔曼·外尔说过：“假如我要在大自然的真和数学里面的美做一个选择的话，我宁愿选择美。”幸运的是：自然界的真往往是极为美妙的。真的要做点学问的话，就要懂得什么叫美，如何在各种现象中找到美的感觉，数学的定理有几万，如何选择完全凭个人的训练感受。
普林斯顿高等研究院的徽章就体现了真和美，左手面是裸体的神，右手面是穿着衣服的神。无论文学家、美术家、音乐家还是数学家，都在不断地发掘美，表达他们从大自然中感受到的美。一位画家要画山水画，到三峡到泰山到喜马拉雅山看到的风景是不同的，你没有去过一切都是空谈。我们看某个风景的图片和自去感受是不同的，所以做学问也是同样的道理，只有身临其境才知道什么是真的好，是真的美。
现在来谈谈体育。希腊哲学也好，儒家哲学也好，都注重体魄的训练。亚里士多德认为，希腊人有超卓的意志（ ），意指希腊人昂昂然若千里之驹，自视甚尊，怜人而不为人怜，奴人而不为人奴。正如孟子所谓“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”。做学问的人也要有这样的气概。综观古今，大部分数学家的主要贡献都在年轻时代，这点与青年人有良好的体魄有关。有了良好的体魄，在解决问题时，才能集中精神。重要的问题往往要经过年持久地集中精力才能够解决。正如荷马史诗里描述的英雄，不怕艰苦，勇往直前，又如玄奘西行，有好的体魄才能成功。
学习的过程不见得都是渐进，有时也容许突进
现在有很多教育家反对学生记熟一些公式，凡事都需由基本原理来推导，我想这是一个很错误的想法。对于有些事情来说，推导比结论更重要，但有些时候是不可能这样做的。做学问往往是在前人的基础上发展。我们不可能什么都懂，须基于前人做过的学问来发展，通过反复思考前人的学问才能理解对整个学问的宏观看法。跳着发展，再反思前人的成果。当年我们都背乘数表，而事实上，任何一位科学家都懂得如何去推导乘数表，物理学家或工程学家大量利用数学家推导的数学公式而不产生疑问，然而，科学还是不停地进步。可见学习的过程不见得都是渐进的，有时也容许突进。我讲这个例子不是让大家偷懒，不会就算了，而是希望大家不要因为有些不懂就放弃，就停滞不前。
举一个有名的例子，那就是 （θ） θ θ，三角函数中比较重要的定理都可以由这个公式推导。我们不难推导它，但有些学者坚持中学生要找到它的直观意义，可能你找不到直观意义，但可以一步一步推导，推导以后就可以向前研究了。
很多中学不教微积分，其实中世纪科学革命的基础在于微积分的建立，而我们的孩子不懂得微积分，等于是回到中世纪以前的黑暗时代，实在可惜。
我听说很多小学或是中学的老师希望学生用规定的方法学习，得到老师规定的答案才给满分，我觉得这是错误的。数学题的解法有很多，比如勾股定理的证明方法至少有几十种，不同的证明方法帮助我们理解定理的内容。 世纪的数学家高斯用不同的方法构造正十七边形，不同的方法来自不同的想法，不同的想法导致不同方向的发展。所以数学题的每种解法有其深厚的意义，你会领会不同的思想，所以我们要允许学生用不同的方法来解决。
实际上，很多工程师甚至物理学家有时并不严格地理解他们用来解决他们问题的方法，但他们知道如何去用这个方法。对于那些关心如何严格推导数学方法的数学家来说，很多时候也是知道结果然后去推导，所以我们要明白学习的方法有时候需要倒过来考虑问题，先知道做什么，再知道为什么这样做。要灵活处理这些关系。
我们需要有新的能量使他跳跃
物理学的基本定律说物体总是寻找低能量的状态，在这种状态下才是稳定的。你们的学习态度包括我自己基本也有同样的状况。人总是希望找到各种理由，使得有时间去做他喜欢的事。就如电子在一定轨道上运行，因为这是它的能量所容许的，但有其他能量激发这些电子后，它可以跳跃。对孩子的学习，我们也需要有新的能量激发，使他跳跃。
这种激发除了考试的分数，也来自老师的课堂教学，例如一些有趣的问题，或者非常有名的数学家的故事，都会引起学生的兴趣，学生都喜欢听故事。历史上有趣的故事有很多，值得学生学习。
美国的中学注重通才教育，数学以外的学科，例如文学、物理学、哲学，都会刺激学生的思考力，值得鼓励。
中小学要特别注重对学生独立人格和品性的培养
假如学生在学校里不能学习与人相处，并享受到它的好处，不如在家里请一位家庭教师来教导。现代社会是一个合群的社会，学生须学习与同学相处，并尊重有能力有学问的老师和同学。学生须懂得如何尊重同学的长处，帮助有需要的同学。学生要培养与他人沟通合作的能力、独立思考的能力、团队协作的精神，对周围人和对社会的责任感等，并在这种环境中去训练自己。
美国的教学体系有很多值得我们学习的地方，虽然它不是一个理想化的体系。比如美国的高中和大学不给出分数，只给出 、、、。这不是一件坏事，因为它可以削弱学生之间不要的竞争。为分数的斤斤计较以及争夺班里的一名，会破坏学生之间的合作，集体的力量得不到尊重。中小学教育里特别注重于对学生独立人格和品性的培养，学生的个性和个人特点也受到充分的尊重和肯定。不少学校把对个人品德的要求按一个字母缩写成 （荣誉），即（坚持）、（尊重）、（正直）、（勤奋）、（优秀），作为学生自我要求的基本要点。这种美德的评价要尊重人的本性。对于学生本人，要形成自己独立的价值观。
对中学生来说，永葆一颗纯真的童心，保持人与生俱来的求知欲和创造能力，展示自己的个性，这对今后的学习和工作是至关重要的。衷心地希望在座的各位可爱的孩子快快乐乐、健康地成长。
▼本文为 年，我在北京师范大学附属中学的演讲。