《流形上的分析》根据J.R.曼克勒斯先生所著的Analysis on Manifolds一书译出。原书禀承了作者一贯的写作风格，论述精辟，深入浅出。主要内容包括：第一章复习并扩充了全书所需要的代数与拓扑知识；第二至四章系统论述了n维欧氏空间中的多元微积分，这是对普通数学分析的推广与提高，也是为流形上的分析做准备；第五至八章系统论述流形上的分析，其中包括一般Stokes定理和de Rham上同调等内容。此外，为便于初学者理解与接受，《流形上的分析》采用将流形嵌入高维欧氏空间中的观点讲述，故而又在第九章给出了抽象流形的概念并简要介绍了一般可微流形和Riemann流形。
《流形上的分析》可作为数学专业的研究生和高年级本科生的教材或参考书，也可供物理及某些工科专业的研究生、青年教师和有关工程技术人员参考。
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《流形上的分析》可作为数学专业的研究生和高年级本科生的教材或参考书，也可供物理及某些工科专业的研究生、青年教师和有关工程技术人员参考。
《流形上的分析》禀承了作者一贯的写作风格，论述精辟透彻，深入浅出。原书作为研究生和高年级本科生的分析后续教材，它的基础和起点是本科数学分析、线性代数及一般拓扑。为便于初学者理解和掌握，作者是采用把流形嵌入高维欧氏空间的观点讲述的，因为这样更直观，几何意义更明显，便于初学者联想和想象。而在原书的最后一章又引导读者摆脱欧氏空间的束缚，给出了抽象流形的概念并简要介绍了一般可微流形和Riemann流形，从而使读者再上一个台阶。原书的另一个特点是内容丰富、详实、系统，特别适合作教材使用，也便于读者自学。 作者简介
作者：（美国）曼克勒斯(Munkres J.R.) 译者：谢孔彬 谢云鹏 目录
译者的话
前言
第一章 Rn的代数和拓扑
§1.线性代数回顾
§2.矩阵的逆与行列式
§3.Rn的拓扑回顾
§4.Rn的紧子空间和连通子空间
第二章 微分
§5.导数
§6.连续可微函数
§7.链规则
§8.反函数定理
§9.隐函数定理
第三章 积分
§10.矩形上的积分
§11.积分的存在性
§12.积分的计算
§13.有界集上的积分
§14.可求积的集合
§15.非正常积分
第四章 变量替换
§16.单位分解
§17.变量替换定理
§18.Rn中的微分同胚
§19.变量替换定理的证明
§20.变量替换的应用
第五章 流形
§21.k维平行六面体的体积
§22.参数化流形的体积
§23.Rn中的流形
§24.流形的边界
§25.流形上标量函数的积分
第六章 微分形式
§26.多重线性代数
§27.交错张量
§28.楔积
§29.切向量和微分形式
§30.微分算子
§31.对向量场和标量场的应用
§32.可微映射的作用
第七章 Stokes定理
§33.参数流形上的形式的积分
§34.可定向流形
§35.定向流形上形式的积分
§36.形式和积分的几何解释
§37.广义Stokes定理
§38.对向量分析的应用
第八章 闭形式和恰当形式
§39.Poincaré引理
§40.有孔Euclid空间的de Rham群
第九章 尾声——Rn之外的世界
§41.可微流形和Riemann流形
参考文献
索引 文摘
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第一章 Rn的代数和拓扑
x1.线性代数回顾
一、向量空间
假设已经给定了一个称作向量的研究对象的集合V，并且给定了一个称作向 量加法的运算，使得向量x和y的和是一个向量，记为x+y。还假设给定了一个 称为数乘的运算使得标量（例如实数）c与向量x的积是一个向量，记为cx.
集合V连同这两种运算，若对所有向量x；y；z与标量c；d，满足下列性质，则 称之为一个向量空间（或线性空间）：
(1)x+y=y+x.
(2)x+(y+z)=(x+y)+z.
(3)有唯一的一个向量0使得x+0=x对所有向量x成立。
(4)x+(?1)x=0.
(5)1x=x.
(6)c(dx)=(cd)x.
(7)(c+d)x=cx+dx.
(8)c(x+y)=cx+cy.
向量空间的一个例子是所有实数n元组的集合Rn连同按分量的加法和数乘， 即如果x=(x1；…；xn)且y=(y1；…；yn)，那么
x+y=(x1+y1；…；xn+yn)；
cx=(cx1；…；cxn):
向量空间的性质容易验证。
设V是一个向量空间，W是V的一个子集，若对W的每一对元素x，y和每 一个称量c，向量x+y和cx的属于W，则称W是V的一个线性子空间（简称子 空间），在这种情况下，若用W从V继承的运算，则W自身也满足性质(1)|(8)， 因而W本身也是一个向量空间。
在本书的前半部分，Rn及其子空间是我们唯一关心的向量空间.在后面的各 章中我们将论述更一般的向量空间。 令V是一个向量空间，对于V中的一组向量a1；…；am，如果V中的每个向 量x都至少对应一组标量c1；…；cm，使得 x=c1a1+…+cmam； 则称V由向量组a1；…；am张成。在这种情况下，我们说x可以写成向量组 a1；…；am的线性组合。
如果V中的每个向量x都至多对应一组标量c1；…；cm，使得 x=c1a1+…+cmam； 则称向量组a1；…；am是线性无关的（或称独立的）。等价地，若零向量0只对应 一组标量d1；…；dm，使得 0=d1a1+…+dmam；
即d1=d2=…=dm=0，则fa1；…；amg是线性无关的。
如果向量组a1；…；am既能张成V又是线性无关的，则称它是V的一个基。
对此我们有下列结果：
定理1.1设V的基由m个向量组成，那么张成V的任何向量组至少有m 个向量，而V的任何线性无关的向量组至多有m个向量.特别，V的任何基恰有 m个向量。 如果V的基恰有m个向量组成，则称V的维数是m，我们约定仅由零向量 组成的向量空间的维数是零。
容易看出Rn的维数是n.下列向量组称为Rn的标准基：
e1=(1；0；0；…；0)；
e2=(0；1；0；…；0)；
……
en=(0；0；0；…；1):
向量空间Rn还有许多其他基，但是Rn的任何基必定恰好由n个向量组成。
可以把张成、线性无关以及基的定义扩展到允许对无穷向量集来定义.那么向 量空间可能具有无穷基（参看习题）。然而我们并不涉及这种情况. 因为Rn具有有限的基，所以它的每一个子空间也有有限基.这个事实是下列 定理的推论。
定理1.2令V是一个m维向量空间，如果W是V的一个（不同于V的） 线性子空间，那么W的维数小于m，而且W的任何一个基a1；…；ak均能扩张 成V的一个基a1；…；ak；ak+1；…；am。
二、内积
如果V是一个向量空间，那么V上的内积是这样一个函数，它对V的每一对 向量x；y指派一个实数，记为hx；yi，并且使得下列性质对V中的所有向量x；y；z 和所有标量c成立：
(1)hx；yi=hy；xi.
(2)hx+y；zi=hx；zi+hy；zi.
(3)hcx；yi=chx；yi=hx；cyi.
(4)若x6=0；则hx；xi>0.
一个向量空间V连同V上的一个内积称为一个内积空间。
一个给定的向量空间可以有许多不同的内积，Rn上的一个特别有用的内积定 义如下：若x=(x1；…；xn)；y=(y1；…；yn)，则定义 hx；yi=x1y1+…+xnyn:
容易验证它具有内积的性质.这将是Rn中通常使用的内积，有时称之为点乘积， 将它记为hx；yi而不记作x￠y是为了避免与不久将要定义的矩阵乘积相混淆。
如果V是一个内积空间，那么将V中向量x的长度（或模)）定义为 kxk=hx；xi1=2:
模函数具有下列性质：
(1)若x6=0，则kxk>0.
(2)kcxk=jcjkxk.
(3)kx+yk6kxk+kyk.
其中第三个性质是唯一需要付出一些努力才能证明的，一般称之为三角形不等式 （参看习题），人们发现，这个不等式的一种等价形式常常是有用的，这就是不等式(30)kx?yk>kxk?kyk.
从V到实数集R的任何满足上列性质(1)|(3)的函数都称作V上的范数。
从内积导出的长度函数就是范数的一个例子，但也确实有些范数不是从内积导出 的。例如在Rn上不仅有熟知的从点乘积导出的范数，称为Euclid范数，而且还有 上确界范数，其定义为 jxj=maxfjx1j；…；jxnjg: 确界范数常常比Euclid范数用起来更方便，我们指出Rn上的这两种范数满足下 列不等式 jxj6kxk6pnjxj:
三、矩阵
一个矩阵A是由数组成的一个矩形阵列，在矩阵中出现的每一个数称为矩阵 的元素。如果矩阵的元素排成n行m列，则称A是n乘m阶的矩阵或n￡m矩 阵，通常把位于A的第i行第j列交汇处的元素记为aij，并将i和j分别称为该 元素的行标和列标。
如果A和B同为n￡m矩阵，并且分别以aij和bij为代表元，则定义A+B 是以aij+bij为代表元的n￡m矩阵，而定义cA是以caij为代表元的n￡m矩 阵。有了这些运算，则所有n￡m矩阵的集合就成为一个向量空间，容易验证向量 空间的8条性质均成立。这个事实并不奇怪，因为一个n￡m矩阵很像是一个nm 元数组，唯一的差别是这些数被写成一个矩形阵列而不是一个线形阵列。
然而在矩阵的集合上还有另一种运算，称为矩阵乘法，如果A是一个n￡m 矩阵且B是一个m￡p矩阵，则将积A￠B定义为一个n￡p矩阵C，其代表元由 下式给出
cij=
mXk=1
aikbkj:
这个积运算满足下列可直接验证的性质：
(1)A￠(B￠C)=(A￠B)￠C.
(2)A￠(B+C)=A￠B+A￠C.
(3)(A+B)￠C=A￠C+B￠C.
(4)(cA)￠B=c(A￠B)=A￠(cB).
(5)对于每一个k，都有一个k￡k矩阵Ik使得当A是n￡m矩阵时则有 In￠A=A；A￠Im=A:
在上述各条性质的陈述中，均假定所涉及的矩阵具有适当的行数和列数以使得所述 运算能够进行。
矩阵Ik是一个k￡k矩阵，其代表元±ij定义如下：当i6=j时，±ij=0，当 i=j时，±ij=1.矩阵Ik称为k￡k单位矩阵.它具有下列形式
Ik=
0BBBBB@
10…0
01…0
...
......
00…1
1CCCCCA
；
其主对角线上的元素为1，其他元素为0。
现在把对n元组定义的确界范数推广到矩阵.即如果A是一个以aij为代表 元的n￡m矩阵，则定义
jAj=maxfjaijj；i=1；…；n；j=1；…；mg:
关于范数的三个性质显然成立，这便是下列有用的结果： 定理1.3如果A是n￡m矩阵且B是m￡p矩阵，那么 jA￠Bj6mjAjjBj:¤
……
| ISBN | 9787030339959,703033 |
|---|---|
| 出版社 | 科学出版社 |
| 作者 | 曼克勒斯(Munkres J.R.) |
| 尺寸 | 16 |