编辑推荐
离散数学是研究离散量的结构和相互间关系的学科，内容丰富，涉及面宽，具有三个很主要的特点：①以集合论为基础，②高度的抽象性，③推理的严密性，是计算机、软件工程等专业的理论基础。本书依据教育部计算机科学与技术教学指导委员会编制的《高等学校计算机科学与技术专业规范》和《高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案》进行编写，简要介绍了离散数学的集合论、抽象代数、图论和数理逻辑4个部分，主要包括集合及其运算，关系，函数；代数系统，群、环和域，格和布尔代数；图与树，特殊图；命题逻辑，谓词逻辑等10章，“整数的整除与同余”一章作为预备知识供学习代数系统部分时参考。由于教材以集合论开头，便于学生学习时循序渐进，同时由于教材内容简明扼要，例题和习题多且包含一些实际应用问题，从而可以调动学生的学习积极性，培养学生的数学思维和解决实际问题的能力，为后续专业课程的学习奠定良好的基础。
本书是作者根据多年从事离散数学课程教学实践，并在参阅国内外优秀经典教材的基础上编写完成的。 主要特色如下：
（1）内容简明扼要，便于自学。
（2）符号统一规范，培养严谨的数学思维方式。
（3）精选例题，侧重解决应用问题。
（4）丰富习题，由易到难分层编排。
（5）注重抽象思维能力的培养，促进推理技能的提高、逻辑抽象的深入、思维方式的严谨和理解能力的增强，提高解决实际问题的能力。
媒体推荐
总结多年理论和实践经验，凝练多年教改和科研成果。例题和习题丰富且包含实际应用问题。注重培养抽象思维能力，强化能力训练，提高解决实际问题的能力。
作者简介
作者：（中国）卢力
卢力，博士，华中科技大学软件学院副教授，硕士研究生导师。主持和参加过多项科研课题的研究工作，近几年发表科研论文二十余篇，主要研究方向是高性能计算、图像信号处理、信息安全等。讲授过多门本科生和研究生的公共基础课、专业基础课和专业课。近年来主要为本科生讲授“离散数学”、“数学建模”等课程。是湖北省高等学校省级精品课程：“软件项目管理与分析”成员。出版《线性代数学习与考试指导》和华中科技大学网络教育视频课件系列: 线性代数。
目录
第0章整数的整除与同余1
0.1整除及带余除法1
0.1.1整数1
0.1.2整除的概念与性质2
0.1.3带余除法3
0.1.4整数的进制表示法4
0.1.5数学归纳法7
0.2整数分解8
0.2.1最大公因数及其性质8
0.2.2欧几里得算法10
0.2.3因式分解法11
0.3同余15
0.3.1同余的概念和性质15
0.3.2线性同余方程18
0.3.3中国剩余定理20
0.3.4威尔逊定理、欧拉定理与费马小定理22
习题25
第1篇集合论27
第1章集合及其运算29
1.1集合的基本概念29
1.1.1集合和元素29
1.1.2集合的表示方法30
1.1.3集合的基数31
1.2集合间的关系31
1.2.1集合的包含31
1.2.2集合的相等32
1.2.3维恩图32
1.2.4幂集33
1.2.5有限集合幂集元素的编码表示34
1.3集合的运算和运算定律34
1.3.1集合的运算34
1.3.2集合运算的定律35
1.3.3集合恒等式的证明方法37
1.3.4包含排斥原理39
1.4集合成员表40
1.4.1并、交和补集的成员表40
1.4.2有限个集合产生的集合的成员表40
1.4.3利用集合成员表证明集合恒等式41
1.5集合的覆盖与分划42
1.6集合的标准形式43
1.6.1最小集标准形式43
1.6.2最大集标准形式46
1.6.3集合范式的说明47
1.7多重集合49
习题49
第2章关系54
2.1笛卡儿积与关系54
2.1.1笛卡儿积54
2.1.2关系的基本概念56
2.2关系的表示方法57
2.2.1集合表示法57
2.2.2矩阵表示法58
2.2.3关系图表示法58
2.3关系的运算59
2.3.1关系的并、交、差、补运算59
2.3.2关系的逆运算60
2.3.3关系的复合运算61
2.4关系的性质66
2.4.1关系性质的定义66
2.4.2关系性质的判别67
2.5关系的闭包70
2.5.1关系闭包的定义70
2.5.2关系闭包的性质72
2.5.3关系闭包的求法74
2.6等价关系77
2.6.1等价关系的基本概念77
2.6.2等价类的性质78
2.6.3等价关系与分划79
2.6.4等价关系的其他性质80
2.7相容关系81
2.7.1相容关系的基本概念81
2.7.2相容关系与覆盖82
2.8偏序关系84
2.8.1偏序关系的基本概念84
2.8.2偏序关系的次序图84
2.8.3偏序集的特殊元素85
2.8.4全序和良序87
习题88
第3章函数95
3.1函数及性质95
3.1.1函数的基本概念95
3.1.2函数的性质97
3.2复合函数99
3.2.1复合函数的定义99
3.2.2函数复合运算的性质100
3.2.3复合函数的性质101
3.3逆函数103
3.3.1逆函数的定义103
3.3.2逆函数的性质104
3.3.3左、右逆函数105
3.4无限集的基数106
3.4.1抽屉原理106
3.4.2集合的等势107
3.4.3可数集的基数108
3.4.4不可数集的基数111
3.4.5集合基数的比较112
习题114
第2篇抽象代数119
第4章代数系统121
4.1代数运算121
4.1.1代数运算的概念121
4.1.2二元运算的性质123
4.1.3特殊元素124
4.2代数系统与子代数128
4.2.1代数系统的概念128
4.2.2子代数的概念129
4.3代数系统的同态与同构130
4.3.1代数系统的同态130
4.3.2满同态的性质132
4.3.3同构的性质132
4.4代数系统的积代数134
习题135
第5章群、环和域139
5.1半群和独异点139
5.1.1半群和独异点的基本概念139
5.1.2子半群和子独异点142
5.1.3半群和独异点的同态143
5.2群143
5.2.1群的基本概念143
5.2.2群的基本性质146
5.2.3群的同态148
5.3置换群与循环群148
5.4子群及其陪集152
5.4.1子群的定义152
5.4.2子群的判别153
5.4.3陪集与正规子群155
5.4.4拉格朗日定理158
5.5环和域160
5.5.1环160
5.5.2整环162
5.5.3域163
5.5.4环和域的同态165
习题166
第6章格和布尔代数170
6.1格及其性质170
6.1.1格的偏序集定义170
6.1.2格的性质171
6.1.3格的代数系统定义174
6.1.4子格175
6.1.5格的同态176
6.2分配格和有补格177
6.2.1分配格177
6.2.2有补格179
6.2.3有补分配格181
6.3布尔代数182
6.3.1布尔代数的基本概念182
6.3.2布尔代数的性质184
习题186
……
第3篇图论191
第4篇数理逻辑253
参考文献319
序言
前言
离散数学是相对于连续数学而言的. 从数学的发展历程来看，最开始的数学是离散的数学，如计数；后面出现微积分这样连续的数学；随着计算机的出现，离散数学重新找到了它应有的位置.
广义来讲，离散数学包括两个方面，一个是连续数学的离散化，即计算数学或数值分析的研究内容；另一个就是离散量自身的研究内容. 一般而言，离散数学是研究离散量的结构和相互间关系的学科. 离散结构则是离散数学和组合数学的统称.
离散数学是计算机、软件工程专业的一门核心基础课程，其主要作用如下：
（1） 离散数学为后继专业课程如数据结构、数据库原理、数字逻辑、信息安全、编译原理、人工智能、操作系统等提供必要的数学基础；
（2） 离散数学为从事计算机科学各方面的工作以及解决计算机科学中遇到的实际问题等提供有力的工具；
（3） 离散数学是现代数学的一个重要分支，通过该课程的学习可以提高逻辑思维与抽象思维能力、创造性思维能力以及分析和解决实际问题的能力等，培养出高素质的人才.
离散数学课程的主要内容可以分为4个部分，其导图如下. 课程以离散量为研究对象，内容丰富，涉及面宽，具有4个主要的特点： 以集合论为基础；高度的抽象性；推理的严密性；应用的广泛性.
本课程概念多、定理多、推理多，并且内容较为抽象. 但由于它是为后继专业知识的学习做必要的数学准备的，因此它研究的内容均比较基础，难度不大. 在学习离散数学的过程中，不必过分关注它的用处以及它在计算机学科中所起的作用，而应从以下几个方面入手，力争学好本课程的全部内容.
（1） 熟读教材，重于细节. 这是学好离散数学不可缺少的一环，要准确理解各个概念和定理的含义，要看懂必要的推理过程.
（2） 独立思考，加强练习. 在熟读教材的基础上，必须通过练习、独立思考来真正获取知识.（3） 注重抽象思维能力的培养. 要学好这门课程，必须具有较强的抽象思维能力，才能深入掌握课程内容. 证明技巧的训练，可以促进推理技能的提高、逻辑抽象的深入、思维方式的严谨和理解能力的增强.
本教材是编者根据多年从事离散数学课程教学实践，并在参阅国内同行编著的多本教材的基础上编写完成的，特别是在教学中一直选用洪帆教授主编的《离散数学基础》组织教学，因此受到了许多潜移默化的影响，在此表示衷心的感谢.教材的编写得到了华中科技大学教材建设项目的资助和清华大学出版社的支持，在此一并表示衷心的感谢.
讲授本教材的基本部分约需64～80学时.教材习题分为A类题和B类题两类，其中B类题多为知识拓展和难度较大的综合题，供学习者选做.另有思考题散布于教材内容之中.教材还配有电子教案，与教材配套的习题解答也在整理之中.
限于编者的水平，书中错误和疏漏之处在所难免，敬请读者不吝指正.
编者2017年4月于武汉
文摘
版权页：
插图：
离散数学是研究离散量的结构和相互间关系的学科，内容丰富，涉及面宽，具有三个很主要的特点：①以集合论为基础，②高度的抽象性，③推理的严密性，是计算机、软件工程等专业的理论基础。本书依据教育部计算机科学与技术教学指导委员会编制的《高等学校计算机科学与技术专业规范》和《高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案》进行编写，简要介绍了离散数学的集合论、抽象代数、图论和数理逻辑4个部分，主要包括集合及其运算，关系，函数；代数系统，群、环和域，格和布尔代数；图与树，特殊图；命题逻辑，谓词逻辑等10章，“整数的整除与同余”一章作为预备知识供学习代数系统部分时参考。由于教材以集合论开头，便于学生学习时循序渐进，同时由于教材内容简明扼要，例题和习题多且包含一些实际应用问题，从而可以调动学生的学习积极性，培养学生的数学思维和解决实际问题的能力，为后续专业课程的学习奠定良好的基础。
本书是作者根据多年从事离散数学课程教学实践，并在参阅国内外优秀经典教材的基础上编写完成的。 主要特色如下：
（1）内容简明扼要，便于自学。
（2）符号统一规范，培养严谨的数学思维方式。
（3）精选例题，侧重解决应用问题。
（4）丰富习题，由易到难分层编排。
（5）注重抽象思维能力的培养，促进推理技能的提高、逻辑抽象的深入、思维方式的严谨和理解能力的增强，提高解决实际问题的能力。
媒体推荐
总结多年理论和实践经验，凝练多年教改和科研成果。例题和习题丰富且包含实际应用问题。注重培养抽象思维能力，强化能力训练，提高解决实际问题的能力。
作者简介
作者：（中国）卢力
卢力，博士，华中科技大学软件学院副教授，硕士研究生导师。主持和参加过多项科研课题的研究工作，近几年发表科研论文二十余篇，主要研究方向是高性能计算、图像信号处理、信息安全等。讲授过多门本科生和研究生的公共基础课、专业基础课和专业课。近年来主要为本科生讲授“离散数学”、“数学建模”等课程。是湖北省高等学校省级精品课程：“软件项目管理与分析”成员。出版《线性代数学习与考试指导》和华中科技大学网络教育视频课件系列: 线性代数。
目录
第0章整数的整除与同余1
0.1整除及带余除法1
0.1.1整数1
0.1.2整除的概念与性质2
0.1.3带余除法3
0.1.4整数的进制表示法4
0.1.5数学归纳法7
0.2整数分解8
0.2.1最大公因数及其性质8
0.2.2欧几里得算法10
0.2.3因式分解法11
0.3同余15
0.3.1同余的概念和性质15
0.3.2线性同余方程18
0.3.3中国剩余定理20
0.3.4威尔逊定理、欧拉定理与费马小定理22
习题25
第1篇集合论27
第1章集合及其运算29
1.1集合的基本概念29
1.1.1集合和元素29
1.1.2集合的表示方法30
1.1.3集合的基数31
1.2集合间的关系31
1.2.1集合的包含31
1.2.2集合的相等32
1.2.3维恩图32
1.2.4幂集33
1.2.5有限集合幂集元素的编码表示34
1.3集合的运算和运算定律34
1.3.1集合的运算34
1.3.2集合运算的定律35
1.3.3集合恒等式的证明方法37
1.3.4包含排斥原理39
1.4集合成员表40
1.4.1并、交和补集的成员表40
1.4.2有限个集合产生的集合的成员表40
1.4.3利用集合成员表证明集合恒等式41
1.5集合的覆盖与分划42
1.6集合的标准形式43
1.6.1最小集标准形式43
1.6.2最大集标准形式46
1.6.3集合范式的说明47
1.7多重集合49
习题49
第2章关系54
2.1笛卡儿积与关系54
2.1.1笛卡儿积54
2.1.2关系的基本概念56
2.2关系的表示方法57
2.2.1集合表示法57
2.2.2矩阵表示法58
2.2.3关系图表示法58
2.3关系的运算59
2.3.1关系的并、交、差、补运算59
2.3.2关系的逆运算60
2.3.3关系的复合运算61
2.4关系的性质66
2.4.1关系性质的定义66
2.4.2关系性质的判别67
2.5关系的闭包70
2.5.1关系闭包的定义70
2.5.2关系闭包的性质72
2.5.3关系闭包的求法74
2.6等价关系77
2.6.1等价关系的基本概念77
2.6.2等价类的性质78
2.6.3等价关系与分划79
2.6.4等价关系的其他性质80
2.7相容关系81
2.7.1相容关系的基本概念81
2.7.2相容关系与覆盖82
2.8偏序关系84
2.8.1偏序关系的基本概念84
2.8.2偏序关系的次序图84
2.8.3偏序集的特殊元素85
2.8.4全序和良序87
习题88
第3章函数95
3.1函数及性质95
3.1.1函数的基本概念95
3.1.2函数的性质97
3.2复合函数99
3.2.1复合函数的定义99
3.2.2函数复合运算的性质100
3.2.3复合函数的性质101
3.3逆函数103
3.3.1逆函数的定义103
3.3.2逆函数的性质104
3.3.3左、右逆函数105
3.4无限集的基数106
3.4.1抽屉原理106
3.4.2集合的等势107
3.4.3可数集的基数108
3.4.4不可数集的基数111
3.4.5集合基数的比较112
习题114
第2篇抽象代数119
第4章代数系统121
4.1代数运算121
4.1.1代数运算的概念121
4.1.2二元运算的性质123
4.1.3特殊元素124
4.2代数系统与子代数128
4.2.1代数系统的概念128
4.2.2子代数的概念129
4.3代数系统的同态与同构130
4.3.1代数系统的同态130
4.3.2满同态的性质132
4.3.3同构的性质132
4.4代数系统的积代数134
习题135
第5章群、环和域139
5.1半群和独异点139
5.1.1半群和独异点的基本概念139
5.1.2子半群和子独异点142
5.1.3半群和独异点的同态143
5.2群143
5.2.1群的基本概念143
5.2.2群的基本性质146
5.2.3群的同态148
5.3置换群与循环群148
5.4子群及其陪集152
5.4.1子群的定义152
5.4.2子群的判别153
5.4.3陪集与正规子群155
5.4.4拉格朗日定理158
5.5环和域160
5.5.1环160
5.5.2整环162
5.5.3域163
5.5.4环和域的同态165
习题166
第6章格和布尔代数170
6.1格及其性质170
6.1.1格的偏序集定义170
6.1.2格的性质171
6.1.3格的代数系统定义174
6.1.4子格175
6.1.5格的同态176
6.2分配格和有补格177
6.2.1分配格177
6.2.2有补格179
6.2.3有补分配格181
6.3布尔代数182
6.3.1布尔代数的基本概念182
6.3.2布尔代数的性质184
习题186
……
第3篇图论191
第4篇数理逻辑253
参考文献319
序言
前言
离散数学是相对于连续数学而言的. 从数学的发展历程来看，最开始的数学是离散的数学，如计数；后面出现微积分这样连续的数学；随着计算机的出现，离散数学重新找到了它应有的位置.
广义来讲，离散数学包括两个方面，一个是连续数学的离散化，即计算数学或数值分析的研究内容；另一个就是离散量自身的研究内容. 一般而言，离散数学是研究离散量的结构和相互间关系的学科. 离散结构则是离散数学和组合数学的统称.
离散数学是计算机、软件工程专业的一门核心基础课程，其主要作用如下：
（1） 离散数学为后继专业课程如数据结构、数据库原理、数字逻辑、信息安全、编译原理、人工智能、操作系统等提供必要的数学基础；
（2） 离散数学为从事计算机科学各方面的工作以及解决计算机科学中遇到的实际问题等提供有力的工具；
（3） 离散数学是现代数学的一个重要分支，通过该课程的学习可以提高逻辑思维与抽象思维能力、创造性思维能力以及分析和解决实际问题的能力等，培养出高素质的人才.
离散数学课程的主要内容可以分为4个部分，其导图如下. 课程以离散量为研究对象，内容丰富，涉及面宽，具有4个主要的特点： 以集合论为基础；高度的抽象性；推理的严密性；应用的广泛性.
本课程概念多、定理多、推理多，并且内容较为抽象. 但由于它是为后继专业知识的学习做必要的数学准备的，因此它研究的内容均比较基础，难度不大. 在学习离散数学的过程中，不必过分关注它的用处以及它在计算机学科中所起的作用，而应从以下几个方面入手，力争学好本课程的全部内容.
（1） 熟读教材，重于细节. 这是学好离散数学不可缺少的一环，要准确理解各个概念和定理的含义，要看懂必要的推理过程.
（2） 独立思考，加强练习. 在熟读教材的基础上，必须通过练习、独立思考来真正获取知识.（3） 注重抽象思维能力的培养. 要学好这门课程，必须具有较强的抽象思维能力，才能深入掌握课程内容. 证明技巧的训练，可以促进推理技能的提高、逻辑抽象的深入、思维方式的严谨和理解能力的增强.
本教材是编者根据多年从事离散数学课程教学实践，并在参阅国内同行编著的多本教材的基础上编写完成的，特别是在教学中一直选用洪帆教授主编的《离散数学基础》组织教学，因此受到了许多潜移默化的影响，在此表示衷心的感谢.教材的编写得到了华中科技大学教材建设项目的资助和清华大学出版社的支持，在此一并表示衷心的感谢.
讲授本教材的基本部分约需64～80学时.教材习题分为A类题和B类题两类，其中B类题多为知识拓展和难度较大的综合题，供学习者选做.另有思考题散布于教材内容之中.教材还配有电子教案，与教材配套的习题解答也在整理之中.
限于编者的水平，书中错误和疏漏之处在所难免，敬请读者不吝指正.
编者2017年4月于武汉
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插图：
| ISBN | 9787302460626,7302460620 |
|---|---|
| 出版社 | 清华大学出版社 |
| 作者 | 卢力 |
| 尺寸 | 16 |