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《国家理科基地大学数学系列教材:高等数学(上册)(第二版)》适合经济、管理、部分理工科（非数学）、社科、人文等各专业学生使用，也可供教研人员参考。
目录
第1章函数
1.1实数集
1.1.1集合
1.1.2实数与数轴
1.1.3绝对值
1.1.4区间与邻域
1.2函数的定义
1.2.1函数的概念
1.2.2函数的表示法
1.2.3函数的分类
1.3函数的特性
1.3.1雨数的奇偶性
1.3.2函数的单调性
1.3.3荫数的周期性
1.3.4函数的有界性
1.4初等函数
1.4.1基本初等函数
1.4.2初等函数的定义
1.5极坐标系下的函数表示
1.5.1平面极坐标系与点的极坐标
1.5.2极坐标与直角坐标的关系
1.5.3极坐标系下函数的图形表示
习题1
综合练习1
第2章极限理论
2.1数列及其极限
2.1.1数列
2.1.2数列的极限
2.2函数的极限
2.2.1当x→∞函数f（x）的极限
2.2.2当x→x0时函数f（x）的极限
2.2.3函数的左极限与右极限
2.2.4关于函数极限的定理
2.3变量的极限
2.4无穷大量与无穷小量
2.4.1无穷大量
2.4.2无穷小量
2.4.3无穷小最与无穷大量的关系
2.4.4函数（数列）极限的另一表达形式
2.4.5关于无穷小的定理
2.4.6无穷小量的阶
2.5极限的四则运算
2.6极限存在准则，两个重要极限
2.6.1两边夹法则
2.6.2单调有界原理
习题2
综合练习2
第3章函数的连续性
3.1函数连续性的定义
3.1.1增量
3.1.2连续函数的概念
3.1.3函数的间断点
3.1.4连续函数的运算法则
3.2闭区间上连续函数的性质
习题3
综合练习3
第4章导数与微分
4.1引出导数概念的实际问题
4.2导数的概念
4.2.1导数的定义
4.2.2导数的几何意义
4.2.3函数可导性与连续性的关系
4.2.4左导数、右导数
4.3导数的基本公式与运算法则
4.3.1两类函数的求导公式
4.3.2导数的运算法则
4.3.3对数函数的导数
4.3.4三角函数的导数
4.3.5复合函数的导数
4.3.6反函数的导数
4.3.7隐函数的导数
4.3.8对数求导法
4.3.9导数公式
4.3.10综合举例
4.4高阶导数
4.5函数的微分
4.5.1微分的定义
4.5.2函数可导与微分的关系
4.5.3微分的运算
4.5.4微分的几何意义
4.5.5一阶微分形式的不变性
4.5.6微分的应用与近似计算
习题4
综合练习4
第5章中值定理及导数的应用
5.1中值定理
5.1.1罗尔定理
5.1.2拉格朗日定理
5.1.3柯西定理
5.1.4泰勒定理
5.2未定式的极限
5.3函数单调性的判定法
5.4函数的极值
5.5最值问题
5.6曲线的凹性与拐点
5.7曲线的渐近线
5.7.1特殊渐近线
5.7.2斜渐近线
5.8函数的作图
5.9变化率与相对变化率在经济学中的应用——边际分析与弹性分析
5.9.1边际分析法——边际函数
5.9.2成本
5.9.3收益
5.9.4函数的相对变化率——函数的弹性与灵敏度分析
5.9.5需求函数与供给函数
5.9.6需求弹性与供给弹性
5.9.7需求价格弹性与总收益的关系
习题5
综合练习5
第6章不定积分
6.1不定积分的概念与基本性质
6.1.1原函数与不定积分的概念
6.1.2不定积分的几何意义
6.1.3不定积分的性质
6.1.4基本积分公式
6.2换元积分法
6.2.1第一类换元法
6.2.2第二类换元法
6.3分部积分法
6.4有理函数的积分
6.4.1有理函数
6.4.2待定系数的确定
6.4.3有理真分式的积分
6.5简单无理函数与三角函数有理式的积分
习题6
综合练习6
第7章定积分
7.1定积分的概念与性质
7.1.1定积分问题举例
7.1.2定积分的概念
7.1.3定积分的性质
7.2积分学基本定理
7.3定积分的换元积分法与分部积分法
7.3.1定积分的换元积分法
7.3.2定积分的分部积分法
7.4定积分的应用
7.4.1平面图形的面积
7.4.2旋转体和已知平行截面面积的立体的体积
7.4.3定积分在经济学中的应用举例
7.5定积分的近似计算
7.5.1矩形法与梯形法
7.5.2辛普森法（抛物线法）
7.6广义积分
7.6.1无穷区间上函数的积分
7.6.2无界函数的积分
7.6.3г—函数
习题7
综合练习7
参考文献
参考答案
文摘
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插图：
第1章 函数
德国著名数学家高斯(K.C.Gauss)曾说：任何现实生活中的问题都可以转化为数学，而任何数学都可以转化为函数。
函数，起始于人类对运动和变化的研究，是对现实世界中各种度量之间相互关系的一种抽象，是解决现实生活中各种问题必不可少的一种工具，也是微积分研究的基本对象，是高等数学中最重要的也是最基本的概念之一。
1.1 实数集
1.1.1 集合
集合是数学中的基本概念，也是集合论的主要研究对象，按集合论的创始人德国数学家康托尔(G.Cantor)的说法，凡一定范围内的可以区别的具体或抽象的事物，若作为一个整体来考虑，就称为集合，而这些事物则称为该集合的元素或成员。
一般来说，集合是具有某种共同属性的事物的全体，或者按照某种研究需要进行研究的对象的全体。集合可以简称为集。构成集合的事物或对象，称为集合的元素。
通常我们研究某些事物或对象组成的集合，如一个班的所有学生、一所大学的所有专业、一个实验室的所有计算机、所有自然数等都可以称为集合，而具体的某个学生、某个专业、某台计算机、某个自然数则分别称为上述相应集合的元素。
由有限多个元素组成的集合称为有限集，如上述提到的一个班的所有学生组成的集合，一所大学的所有专业组成的集合，一个实验室的所有计算机组成的集合就是有限集；由无穷多个元素组成的集合称为无限集，如所有自然数组成的集合就是无限集。
通常，我们用大写字母A，B，X，Ω， 表示集合，而用小写字母a，b，α，β， 表示集合中的元素。
若a是A中的一个元素，记做a∈A，读做a属于A；若a不是A中的一个元素，记做aA(或aA)，读做a不属于A。
在今后的学习中，我们将用某些字母表示特定的集合，N：全体自然数集；Z：全体整数集；Q：全体有理集；R：全体实数集。如2∈N；2∈R；π*Q。
表示一个集合，通常有两种方法。一种方法是把集合的所有元素全部列出，这种表示方法称为列举法。如A＝｛a，b，c，d，e}，表示集合A由a，b，c，d，e五个元素组成。另一种方法称为描述法，即用一对花括号把元素具有的共同性质P表示出来。一般记为
A＝｛x|x具有性质P｝或A＝｛x:x具有性质P}
例如，C＝｛x1＜x≤3}；D＝｛x|x是正实数｝，此时集合也可以表示为D＝｛x|x∈R+}；M＝｛x|x是等腰三角形}。
我们将不含任何元素的集合称为空集，这是一个很重要的有穷集，记做*。如｛x方程x2+1=0的实数解}就是空集。
设有两个集合A和B，若A的每个元素都是B的元素，即A的每个元素都属于B，则称B包含A，或A包含在B中，或A是B的子集，并记做A*B。因此，A*B是指从a∈A推知a∈B。
例如，C＝｛x1＜x≤3}，D＝｛x|x是正实数}，有C*D。
若A*B且B*A，则称A与B相等，记做A＝B。两个集合相等是指它们具有相同的元素。
在讨论某些问题时，我们常常把讨论限制在某一集合U的元素、它的子集的范围内，这样的集合U称为全集。很显然，全集随讨论问题的变化而有所变化。
设有集合A、B、C，下面给出集合之间的运算及运算律：
（1） 所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集，简称为A与B的交，记做A∩B，用集合表示即A∩B＝｛x|x∈A且x∈B}。
（2） 所有至少属于A、B之一的元素组成的集合称为A与B的并集，简称为A与B的并，记做A∪B，用集合表示即A∪B＝｛x|x∈A或x∈B}。
（3） 所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记做A-B，用集合表示即A-B＝｛x|x∈A且x*B}。
设A是全集U的一个子集，U中所有不属于A的元素所组成的集合称为A的补集，记做A，用集合表示即A＝｛x|x∈X且x*A}，用差集表示即A＝X-A。
集合的运算满足如下运算律：
(1) 交换律(1.1.1)
(2) 结合律(1.1.2)
(3) 分配律(1.1.3)
(4) 吸收律(1.1.4)
(5) 对偶律(1.1.5)
这里，我们只给出对偶律(5)中A∪B＝A∩B的证明，其他运算律可以类似证明。要证明A∪B＝A∩B，则需证明。证明如下：
设，于是x∈A且x∈B，即x∈A∩B，因此
设x∈A∩B，则x∈A且x∈B，即，于是即x∈A∪B，因此
1.1.2 实数与数轴
高等数学主要在实数范围内讨论问题，因此我们有必要简要地介绍一下实数的一些属性。
人们对实数的认识是逐步发展的。首先是自然数，由自然数构成的集合叫做自然数集，记为N。在N中我们可以定义四则运算，然后发展到有理数。有理数可以表示为pq，其中p与q都是整数，且q≠0。我们将有理数构成的集合叫做有理数集，记为Q。
在数轴上，每一个有理数都可以找到一个点来表示。如图1.1.1中的点A1，A2，A3，A4，A5就可以代表有理数-4，-1.5，-0。5，3，5。我们将代表有理数x的点称为有理点。由此可知，有理数集Q除了可以在其中定义四则运算外，还具有有序性。
图1.1.1
任给两个有理数a，b(a＜b)，则在a，b之间至少可以找到一个有理数c，使得a＜c＜b，如c=a+b2。同样地，a，c之间至少可以找到一个有理数d，使得a＜d＜c。可见，无论有理数a，b相差多少，在a，b之间总可以找到无穷多个有理数，这就是有理数的稠密性。因为任何一个有理数必定与数轴上的一个有理点相对应，这也说明有理点在数轴上是处处稠密的。
图1.1.2
尽管如此，有理点并没有充满整个数轴。事实上，如图1.1.2所示，在数轴上，设OC是单位长，作直角三角形OCB，使BC＝OC，由勾股定理知。以O为圆心，OB为半径作圆，与数轴正半轴交于一点A，显然容易证明2不能表示为pq(p与q都是整数，且q≠0)的形式，因此2不是有理数。可见数轴上代表2的点C不是有理点。与上述同样的理由，这种点也必有无穷多个，而且在数轴上也是处处稠密的。我们称这些点为无理点，与无理点相对应的数称为无理数。无理数是无限不循环小数，如2，3，π等。由它们构成的集合称为无理数集，记为I。有理数与无理数统称为实数。全体实数构成的集合称为实数集，记为R。
实数充满数轴且没有间隙，这就是实数的连续性。可见每一个实数必定是数轴上某一点的坐标；反之，数轴上每一个点必是一个实数，这就是说全体实数与数轴上全体点构成一一对应的关系。基于此，我们在以后的讨论中，可以把数轴上的点与实数不加区分，点a和实数a是相同的意思。
1.1.3 绝对值
定义1.1.1 一个实数x的绝对值，记为x，定义为
x的几何意义表示数轴上的点x与原点之间的距离。在这里我们不加证明地给出如下绝对值及其运算的下列性质：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
1.1.4 区间与邻域
在实数集中，我们经常会碰到各种区间。所谓区间就是介于某两个点之间的所有点构成的集合，这两个点称为区间的端点。区间可以分为以下几种：
设a，b∈R，且a＜b。
（1） 满足不等式a＜x＜b的所有实数x的集合，称为以a，b为端点的开区间，记做（a，b)，即如图1.1.3所示。
图1.1.3
（2） 满足不等式a≤x≤b的所有实数x的集合，称为以a，b为端点的闭区间，记做［a，b］，即如图1.1.4所示。
图1.1.4
类似地，可以定义如下区间：
（3）并称为半开区间。
其中区间的右端点b与区间的左端点a的差b-a称为区间的长度，上述（1）～（3）种情况具有有限的区间长度，因此我们称为有限区间。下面给出几类无限区间：
（4）
（5）
（6）即全体实数的集合。
设a与δ是两个实数，且δ＞0。实数集合在数轴上表示一个以点a为中心，以2δ为区间长度的开区间(a-δ，a+δ)，并称该开区间为以a为中心、δ为半径的邻域，记为U(a，δ)。根据绝对值的性质，即有
在数轴上表示，如图1.1.5所示。
图1.1.5
另外，我们常常还会用到如下的实数集合，即上述邻域U(a，δ)去掉中心点a后形成的邻域，我们称该邻域为以a为中心、δ为半径的去心邻域，并记为
1.2 函数的定义
1.2.1 函数的概念
定义1.2.1 设D是一个给定的非空实数集，如果对于每一个实数x∈D，按照某个对应法则f，有**的实数y与之对应，则称f是定义在D上的函数，记为y=f(x)（x∈D）。x称为自变量，y称为因变量。自变量x的取值集合D称为函数的定义域，记为D(f)，因变量的取值集合称为函数的值域，记为Z(f)，即
为了以示区别，不同的函数其对应法则可以用不同的字母表示。在实际问题中，由函数的实际意义可以确定函数的定义域。当函数无实际背景时，函数的定义域是使函数的对应法则有意义的自变量x的取值集合。
函数具有定义域和对应法则两个要素。对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，如果其定义域和对应法则分别相同，则我们认为这两个函数是同一函数，否则是两个不同的函数。
例1.2.1 求函数的定义域。
解 因1-x2≥0时，函数才有意义，故定义域为
例1.2.2 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求函数的定义域。
解 显然，要使函数有意义，则
解得
从而所求函数的定义域为
例1.2.3 判断函数y=x（x∈R）与函数是否为同一函数。
解 虽然这两个函数在x≠0时，其函数的表达形式均为y=x，即对应法则相同，但是这两个函数的定义域不同，因而不是同一函数。
例1.2.4 判断函数与函数是否为同一函数。
解 显然，所论两函数的定义域均为{x|x≠0}，且对应法则也相同，因而为同一函数。
应该指出，根据函数的定义，一个函数y=f(x)的自变量x在定义域D内任取一个值时，函数y=f(x)仅有一个确定的值与之对应，这种函数我们称为单值函数。如果对于定义域中的任一x的值，函数y=f(x)有几个甚至无穷多个确定的值与之对应，这时我们称这种函数为多值函数。如由方程x2＋y2＝1确定的函数就是多值函数。本书中，若无特别说明，我们只对单值函数进行讨论。
1.2.2 函数的表示法
函数的表示通常有三种表达形式：解析法、列表法和图形法。函数的对应法则用数学解析表达式表示的方法称为解析法。而列表法给出了函数在一些点上的函数值，并用表格的形式表达出来。图形法则在坐标系下，给出对应函数y=f(x)在坐标系下的
《国家理科基地大学数学系列教材:高等数学(上册)(第二版)》适合经济、管理、部分理工科（非数学）、社科、人文等各专业学生使用，也可供教研人员参考。
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第1章函数
1.1实数集
1.1.1集合
1.1.2实数与数轴
1.1.3绝对值
1.1.4区间与邻域
1.2函数的定义
1.2.1函数的概念
1.2.2函数的表示法
1.2.3函数的分类
1.3函数的特性
1.3.1雨数的奇偶性
1.3.2函数的单调性
1.3.3荫数的周期性
1.3.4函数的有界性
1.4初等函数
1.4.1基本初等函数
1.4.2初等函数的定义
1.5极坐标系下的函数表示
1.5.1平面极坐标系与点的极坐标
1.5.2极坐标与直角坐标的关系
1.5.3极坐标系下函数的图形表示
习题1
综合练习1
第2章极限理论
2.1数列及其极限
2.1.1数列
2.1.2数列的极限
2.2函数的极限
2.2.1当x→∞函数f（x）的极限
2.2.2当x→x0时函数f（x）的极限
2.2.3函数的左极限与右极限
2.2.4关于函数极限的定理
2.3变量的极限
2.4无穷大量与无穷小量
2.4.1无穷大量
2.4.2无穷小量
2.4.3无穷小最与无穷大量的关系
2.4.4函数（数列）极限的另一表达形式
2.4.5关于无穷小的定理
2.4.6无穷小量的阶
2.5极限的四则运算
2.6极限存在准则，两个重要极限
2.6.1两边夹法则
2.6.2单调有界原理
习题2
综合练习2
第3章函数的连续性
3.1函数连续性的定义
3.1.1增量
3.1.2连续函数的概念
3.1.3函数的间断点
3.1.4连续函数的运算法则
3.2闭区间上连续函数的性质
习题3
综合练习3
第4章导数与微分
4.1引出导数概念的实际问题
4.2导数的概念
4.2.1导数的定义
4.2.2导数的几何意义
4.2.3函数可导性与连续性的关系
4.2.4左导数、右导数
4.3导数的基本公式与运算法则
4.3.1两类函数的求导公式
4.3.2导数的运算法则
4.3.3对数函数的导数
4.3.4三角函数的导数
4.3.5复合函数的导数
4.3.6反函数的导数
4.3.7隐函数的导数
4.3.8对数求导法
4.3.9导数公式
4.3.10综合举例
4.4高阶导数
4.5函数的微分
4.5.1微分的定义
4.5.2函数可导与微分的关系
4.5.3微分的运算
4.5.4微分的几何意义
4.5.5一阶微分形式的不变性
4.5.6微分的应用与近似计算
习题4
综合练习4
第5章中值定理及导数的应用
5.1中值定理
5.1.1罗尔定理
5.1.2拉格朗日定理
5.1.3柯西定理
5.1.4泰勒定理
5.2未定式的极限
5.3函数单调性的判定法
5.4函数的极值
5.5最值问题
5.6曲线的凹性与拐点
5.7曲线的渐近线
5.7.1特殊渐近线
5.7.2斜渐近线
5.8函数的作图
5.9变化率与相对变化率在经济学中的应用——边际分析与弹性分析
5.9.1边际分析法——边际函数
5.9.2成本
5.9.3收益
5.9.4函数的相对变化率——函数的弹性与灵敏度分析
5.9.5需求函数与供给函数
5.9.6需求弹性与供给弹性
5.9.7需求价格弹性与总收益的关系
习题5
综合练习5
第6章不定积分
6.1不定积分的概念与基本性质
6.1.1原函数与不定积分的概念
6.1.2不定积分的几何意义
6.1.3不定积分的性质
6.1.4基本积分公式
6.2换元积分法
6.2.1第一类换元法
6.2.2第二类换元法
6.3分部积分法
6.4有理函数的积分
6.4.1有理函数
6.4.2待定系数的确定
6.4.3有理真分式的积分
6.5简单无理函数与三角函数有理式的积分
习题6
综合练习6
第7章定积分
7.1定积分的概念与性质
7.1.1定积分问题举例
7.1.2定积分的概念
7.1.3定积分的性质
7.2积分学基本定理
7.3定积分的换元积分法与分部积分法
7.3.1定积分的换元积分法
7.3.2定积分的分部积分法
7.4定积分的应用
7.4.1平面图形的面积
7.4.2旋转体和已知平行截面面积的立体的体积
7.4.3定积分在经济学中的应用举例
7.5定积分的近似计算
7.5.1矩形法与梯形法
7.5.2辛普森法（抛物线法）
7.6广义积分
7.6.1无穷区间上函数的积分
7.6.2无界函数的积分
7.6.3г—函数
习题7
综合练习7
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第1章 函数
德国著名数学家高斯(K.C.Gauss)曾说：任何现实生活中的问题都可以转化为数学，而任何数学都可以转化为函数。
函数，起始于人类对运动和变化的研究，是对现实世界中各种度量之间相互关系的一种抽象，是解决现实生活中各种问题必不可少的一种工具，也是微积分研究的基本对象，是高等数学中最重要的也是最基本的概念之一。
1.1 实数集
1.1.1 集合
集合是数学中的基本概念，也是集合论的主要研究对象，按集合论的创始人德国数学家康托尔(G.Cantor)的说法，凡一定范围内的可以区别的具体或抽象的事物，若作为一个整体来考虑，就称为集合，而这些事物则称为该集合的元素或成员。
一般来说，集合是具有某种共同属性的事物的全体，或者按照某种研究需要进行研究的对象的全体。集合可以简称为集。构成集合的事物或对象，称为集合的元素。
通常我们研究某些事物或对象组成的集合，如一个班的所有学生、一所大学的所有专业、一个实验室的所有计算机、所有自然数等都可以称为集合，而具体的某个学生、某个专业、某台计算机、某个自然数则分别称为上述相应集合的元素。
由有限多个元素组成的集合称为有限集，如上述提到的一个班的所有学生组成的集合，一所大学的所有专业组成的集合，一个实验室的所有计算机组成的集合就是有限集；由无穷多个元素组成的集合称为无限集，如所有自然数组成的集合就是无限集。
通常，我们用大写字母A，B，X，Ω， 表示集合，而用小写字母a，b，α，β， 表示集合中的元素。
若a是A中的一个元素，记做a∈A，读做a属于A；若a不是A中的一个元素，记做aA(或aA)，读做a不属于A。
在今后的学习中，我们将用某些字母表示特定的集合，N：全体自然数集；Z：全体整数集；Q：全体有理集；R：全体实数集。如2∈N；2∈R；π*Q。
表示一个集合，通常有两种方法。一种方法是把集合的所有元素全部列出，这种表示方法称为列举法。如A＝｛a，b，c，d，e}，表示集合A由a，b，c，d，e五个元素组成。另一种方法称为描述法，即用一对花括号把元素具有的共同性质P表示出来。一般记为
A＝｛x|x具有性质P｝或A＝｛x:x具有性质P}
例如，C＝｛x1＜x≤3}；D＝｛x|x是正实数｝，此时集合也可以表示为D＝｛x|x∈R+}；M＝｛x|x是等腰三角形}。
我们将不含任何元素的集合称为空集，这是一个很重要的有穷集，记做*。如｛x方程x2+1=0的实数解}就是空集。
设有两个集合A和B，若A的每个元素都是B的元素，即A的每个元素都属于B，则称B包含A，或A包含在B中，或A是B的子集，并记做A*B。因此，A*B是指从a∈A推知a∈B。
例如，C＝｛x1＜x≤3}，D＝｛x|x是正实数}，有C*D。
若A*B且B*A，则称A与B相等，记做A＝B。两个集合相等是指它们具有相同的元素。
在讨论某些问题时，我们常常把讨论限制在某一集合U的元素、它的子集的范围内，这样的集合U称为全集。很显然，全集随讨论问题的变化而有所变化。
设有集合A、B、C，下面给出集合之间的运算及运算律：
（1） 所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集，简称为A与B的交，记做A∩B，用集合表示即A∩B＝｛x|x∈A且x∈B}。
（2） 所有至少属于A、B之一的元素组成的集合称为A与B的并集，简称为A与B的并，记做A∪B，用集合表示即A∪B＝｛x|x∈A或x∈B}。
（3） 所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记做A-B，用集合表示即A-B＝｛x|x∈A且x*B}。
设A是全集U的一个子集，U中所有不属于A的元素所组成的集合称为A的补集，记做A，用集合表示即A＝｛x|x∈X且x*A}，用差集表示即A＝X-A。
集合的运算满足如下运算律：
(1) 交换律(1.1.1)
(2) 结合律(1.1.2)
(3) 分配律(1.1.3)
(4) 吸收律(1.1.4)
(5) 对偶律(1.1.5)
这里，我们只给出对偶律(5)中A∪B＝A∩B的证明，其他运算律可以类似证明。要证明A∪B＝A∩B，则需证明。证明如下：
设，于是x∈A且x∈B，即x∈A∩B，因此
设x∈A∩B，则x∈A且x∈B，即，于是即x∈A∪B，因此
1.1.2 实数与数轴
高等数学主要在实数范围内讨论问题，因此我们有必要简要地介绍一下实数的一些属性。
人们对实数的认识是逐步发展的。首先是自然数，由自然数构成的集合叫做自然数集，记为N。在N中我们可以定义四则运算，然后发展到有理数。有理数可以表示为pq，其中p与q都是整数，且q≠0。我们将有理数构成的集合叫做有理数集，记为Q。
在数轴上，每一个有理数都可以找到一个点来表示。如图1.1.1中的点A1，A2，A3，A4，A5就可以代表有理数-4，-1.5，-0。5，3，5。我们将代表有理数x的点称为有理点。由此可知，有理数集Q除了可以在其中定义四则运算外，还具有有序性。
图1.1.1
任给两个有理数a，b(a＜b)，则在a，b之间至少可以找到一个有理数c，使得a＜c＜b，如c=a+b2。同样地，a，c之间至少可以找到一个有理数d，使得a＜d＜c。可见，无论有理数a，b相差多少，在a，b之间总可以找到无穷多个有理数，这就是有理数的稠密性。因为任何一个有理数必定与数轴上的一个有理点相对应，这也说明有理点在数轴上是处处稠密的。
图1.1.2
尽管如此，有理点并没有充满整个数轴。事实上，如图1.1.2所示，在数轴上，设OC是单位长，作直角三角形OCB，使BC＝OC，由勾股定理知。以O为圆心，OB为半径作圆，与数轴正半轴交于一点A，显然容易证明2不能表示为pq(p与q都是整数，且q≠0)的形式，因此2不是有理数。可见数轴上代表2的点C不是有理点。与上述同样的理由，这种点也必有无穷多个，而且在数轴上也是处处稠密的。我们称这些点为无理点，与无理点相对应的数称为无理数。无理数是无限不循环小数，如2，3，π等。由它们构成的集合称为无理数集，记为I。有理数与无理数统称为实数。全体实数构成的集合称为实数集，记为R。
实数充满数轴且没有间隙，这就是实数的连续性。可见每一个实数必定是数轴上某一点的坐标；反之，数轴上每一个点必是一个实数，这就是说全体实数与数轴上全体点构成一一对应的关系。基于此，我们在以后的讨论中，可以把数轴上的点与实数不加区分，点a和实数a是相同的意思。
1.1.3 绝对值
定义1.1.1 一个实数x的绝对值，记为x，定义为
x的几何意义表示数轴上的点x与原点之间的距离。在这里我们不加证明地给出如下绝对值及其运算的下列性质：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
1.1.4 区间与邻域
在实数集中，我们经常会碰到各种区间。所谓区间就是介于某两个点之间的所有点构成的集合，这两个点称为区间的端点。区间可以分为以下几种：
设a，b∈R，且a＜b。
（1） 满足不等式a＜x＜b的所有实数x的集合，称为以a，b为端点的开区间，记做（a，b)，即如图1.1.3所示。
图1.1.3
（2） 满足不等式a≤x≤b的所有实数x的集合，称为以a，b为端点的闭区间，记做［a，b］，即如图1.1.4所示。
图1.1.4
类似地，可以定义如下区间：
（3）并称为半开区间。
其中区间的右端点b与区间的左端点a的差b-a称为区间的长度，上述（1）～（3）种情况具有有限的区间长度，因此我们称为有限区间。下面给出几类无限区间：
（4）
（5）
（6）即全体实数的集合。
设a与δ是两个实数，且δ＞0。实数集合在数轴上表示一个以点a为中心，以2δ为区间长度的开区间(a-δ，a+δ)，并称该开区间为以a为中心、δ为半径的邻域，记为U(a，δ)。根据绝对值的性质，即有
在数轴上表示，如图1.1.5所示。
图1.1.5
另外，我们常常还会用到如下的实数集合，即上述邻域U(a，δ)去掉中心点a后形成的邻域，我们称该邻域为以a为中心、δ为半径的去心邻域，并记为
1.2 函数的定义
1.2.1 函数的概念
定义1.2.1 设D是一个给定的非空实数集，如果对于每一个实数x∈D，按照某个对应法则f，有**的实数y与之对应，则称f是定义在D上的函数，记为y=f(x)（x∈D）。x称为自变量，y称为因变量。自变量x的取值集合D称为函数的定义域，记为D(f)，因变量的取值集合称为函数的值域，记为Z(f)，即
为了以示区别，不同的函数其对应法则可以用不同的字母表示。在实际问题中，由函数的实际意义可以确定函数的定义域。当函数无实际背景时，函数的定义域是使函数的对应法则有意义的自变量x的取值集合。
函数具有定义域和对应法则两个要素。对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，如果其定义域和对应法则分别相同，则我们认为这两个函数是同一函数，否则是两个不同的函数。
例1.2.1 求函数的定义域。
解 因1-x2≥0时，函数才有意义，故定义域为
例1.2.2 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求函数的定义域。
解 显然，要使函数有意义，则
解得
从而所求函数的定义域为
例1.2.3 判断函数y=x（x∈R）与函数是否为同一函数。
解 虽然这两个函数在x≠0时，其函数的表达形式均为y=x，即对应法则相同，但是这两个函数的定义域不同，因而不是同一函数。
例1.2.4 判断函数与函数是否为同一函数。
解 显然，所论两函数的定义域均为{x|x≠0}，且对应法则也相同，因而为同一函数。
应该指出，根据函数的定义，一个函数y=f(x)的自变量x在定义域D内任取一个值时，函数y=f(x)仅有一个确定的值与之对应，这种函数我们称为单值函数。如果对于定义域中的任一x的值，函数y=f(x)有几个甚至无穷多个确定的值与之对应，这时我们称这种函数为多值函数。如由方程x2＋y2＝1确定的函数就是多值函数。本书中，若无特别说明，我们只对单值函数进行讨论。
1.2.2 函数的表示法
函数的表示通常有三种表达形式：解析法、列表法和图形法。函数的对应法则用数学解析表达式表示的方法称为解析法。而列表法给出了函数在一些点上的函数值，并用表格的形式表达出来。图形法则在坐标系下，给出对应函数y=f(x)在坐标系下的
| ISBN | 9787030536617 |
|---|---|
| 出版社 | 科学出版社 |
| 作者 | 刘金舜 |
| 尺寸 | 16 |