编辑推荐
精简随机过程的内容，分散随机过程的难点，注重内容的可读性，以满足数学基础不是太强的读者也可以学懂的教材。
目录
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第 1 章 引论 1
1.1 预备知识 1
1.1.1 概率空间 1
1.1.2 随机变量 5
1.1.3 黎曼-斯蒂尔切斯积分 10
1.1.4 数字特征 13
1.1.5 矩母函数、特征函数 15
1.1.6 几个重要的极限定理 17
习题 1.1. 19
1.2 随机过程的基本概念 19
1.2.1 随机过程的定义 19
1.2.2 随机过程的有限维分布族和数字特征 21
1.2.3 平稳过程 23
1.2.4 独立增量过程 23
习题 1.2. 24
1.3 泊松过程 25
1.3.1 泊松过程的概念 25
1.3.2 指数流与泊松过程 29
1.3.3 指数流的条件分布 33
1.3.4 剩余寿命与年龄 35
1.3.5 非时齐泊松过程 37
习题 1.3. 40
1.4 布朗运动 42
1.4.1 布朗运动的概念 42
1.4.2 布朗运动轨道的性质 45
1.4.3 首中时 47
1.4.4 布朗运动的几种变化 48
习题 1.4. 52
第 2 章 条件数学期望与鞍 53
2.1 条件数学期望的概念 53
2.1.1 离散型随机变量的条件数学期望 53
2.1.2 连续型随机变量的条件数学期望 54
2.1.3 一般随机变量的条件数学期望 56
习题 2.1. 57
2.2 条件数学期望的基本性质与应用 58
2.2.1 条件数学期望的基本性质 58
2.2.2 复合泊松过程 59
2.2.3 条件泊松过程 60
2.2.4 反正弦律 62
2.2.5 其他例子 63
习题 2.2. 64
2.3 鞍的基本概念 65
2.3.1 鞍的概念与举例 66
2.3.2 上鞍与下鞍 70
2.3.3 鞍的分解定理 72
2.3.4 关于鞍的两个不等式 74
习题 2.3. 75
2.4 停时与停时定理 76
2.4.1 停时的概念 77
2.4.2 停时定理 78
2.4.3 停时定理的补充 82
习题 2.4. 83
2.5 鞍收敛定理 85
2.5.1 上穿不等式 85
2.5.2 鞍收敛定理 86
习题 2.5. 88
2.6 连续鞍初步 89
习题 2.6. 91
第 3 章 更新过程 92
3.1 更新过程的概念 92
3.1.1 更新过程的定义 92
3.1.2 更新次数的极限 93
3.1.3 卷积及其性质 95
3.1.4 更新函数及其基本性质 96
习题 3.1. 97
3.2 更新方程和更新定理 98
3.2.1 更新方程及其基本性质 98
3.2.2 更新定理 102
习题 3.2. 106
3.3 更新过程的推广 107
3.3.1 交替更新过程 107
3.3.2 延迟更新过程 109
3.3.3 更新回报过程 109
习题 3.3. 111
第 4 章 马尔可夫链 113
4.1 马尔可夫链及其转移概率 113
4.1.1 基本概念 113
4.1.2 查普曼-柯尔莫戈洛夫方程 115
习题 4.1. 118
4.2 状态的分类及其性质 119
4.2.1 互通 119
4.2.2 常返与非常返状态 120
4.2.3 正常返和零常返状态 124
4.2.4 周期与遍历状态 125
习题 4.2. 127
4.3 状态空间的分解 129
4.3.1 闭集 129
4.3.2 分解定理 130
习题 4.3. 132
4.4 极限定理与平稳分布 135
4.4.1 极限定理 135
4.4.2 平稳分布 136
习题 4.4. 140
4.5 连续时间马尔可夫链 142
4.5.1 概念和基本性质 142
4.5.2 转移概率的性质 143
4.5.3 柯尔莫戈洛夫向前-向后微分方程 145
习题 4.5. 148
第 5 章 随机积分与随机微分方程 149
5.1 伊藤积分的定义 149
5.1.1 简单过程的伊藤积分 149
5.1.2 适应过程的伊藤积分 152
习题 5.1. 155
5.2 伊藤积分过程 155
5.2.1 伊藤积分的鞍性 155
5.2.2 伊藤积分的二次变差和协变差 156
5.2.3 伊藤积分与高斯过程 158
习题 5.2. 159
5.3 伊藤公式 159
5.3.1 关于布朗运动的伊藤公式 159
5.3.2 伊藤过程与随机微分 162
5.3.3 关于伊藤过程的伊藤公式 165
习题 5.3. 169
5.4 随机微分方程 171
5.4.1 随机微分方程的定义 171
5.4.2 随机指数和对数 173
5.4.3 线性随机微分方程的解 176
……
习题 5.4. 178
第 6 章 随机过程在金融保险中的应用举例 179
6.1 破产理论 179
6.1.1 风险过程与破产概率的相关概念 179
6.1.2 安全负荷与调节系数 182
6.1.3 破产概率的估计 184
习题 6.1. 188
6.2 金融衍生产品的定价 188
6.2.1 金融术语和基本假定 189
6.2.2 定价方法 190
习题 6.2. 192
参考文献 193
序言
随机过程是一族随机事件动态关系的定量描述. 作为概率论的延伸和发展, 随机 过程论与数学、物理等许多学科的分支有着密切的联系, 并己广泛应用于物理、化学、 生物、气象、天文、经济、金融、运筹决策、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科 学等诸多领域, 己经成为自然科学、工程科学和社会科学各领域研究随机现象的重要 工具.
目前, 国内外有关随机过程的教材己有很多, 其中一些需要读者具备实变函数、泛 函分析和高等概率论的基础知识, 其主要阅读对象是数学系概率论与数理统计专业和 精英型的统计学专业的学生； 另一些则只需读者具备高等数学、线性代数和初等概率 论的知识, 其主要阅读对象是侧重应用的统计学类各专业和其他理工科及经管类相关 专业的学生. 随着我国招生制度的变化, 大部分高校的统计学及其相关专业的培养目 标逐步转为复合应用型人才的培养. 在人才培养过程中, 既强调具备一定的理论基础, 又强调应用能力的提高. 显然那些需要过多数学基础, 讲述过于抽象的教材和重点放 在直观理解、叙述不严谨的教材都己经不能适应这一变化.
为适应培养要求的转变, 满足更多专业学生的学习需求, 本书在借鉴国内外相关 优秀教材的基础上, 着重突出三个特色. 第一是内容精简实用. 本书在保留了几类常用 的经典随机过程的基础上, 力求讲清楚最基本的概念、性质和方法, 去掉过于专门化的 讨论, 使得绝大多数内容能够在课程规定的学时内完成. 第二是内容的安排上, 尽量在 保持理论体系的同时将难点分散； 同时, 兼顾不同专业讲授时选题的需要. 例如, 我们 在 1.2 节讲完随机过程的基本概念之后, 在 1.3 节和 1.4 节就安排了两类重要的平稳独 立增量过程 -- 泊松过程和布朗运动. 目的是, 一方面让学生尽快感受具体随机过程 的研究方法； 另一方面将难点分散, 便于学生掌握. 又如, 我们将条件数学期望和鞍论 合在一起放在第 2 章, 这是考虑到, 一方面大多数初等概率论对条件数学期望的讲解 偏少, 甚至忽略, 需要专门的篇幅讲解； 另一方面这两块知识联系紧密, 便于学生迅速 将条件数学期望的知识应用于鞍论, 从而更好地掌握这两部分知识. 再如, 我们在第 6 章专门安排了随机过程在保险和金融中的两个应用, 便于需要这部分知识的专业去选 题. 其实, 6.1 节破产理论, 在讲完第 3 章更新过程之后就可以讲授了. 第三是力求增
强可读性. 教材的可读性体现在, 要有严谨的理论, 准确的语言, 明晰的脉络, 简练、生 动而明达的表述, 不能让读者感到冗繁与艰涩. 诚然, 上述种种是本教材努力追求的.
本书主要包括以下内容. 第 1 章在总结复习概率论相关知识的基础上, 介绍随机 过程的基本概念, 同时较为系统地介绍两类重要的平稳独立增量过程--泊松过程和 布朗运动. 第 2 章分别介绍条件数学期望和鞍论的知识以及它们简单的应用. 第 3 章 介绍更新过程的概念、性质、更新方程、更新定理以及更新过程的几个推广. 第 4 章 介绍离散时间马尔可夫链的概念、性质、状态的分类、状态空间的分解、极限定理、平 稳分布以及连续时间马尔可夫链的概念和基本性质. 第 5 章介绍伊藤积分的概念和性 质、伊藤积分过程、伊藤公式以及随机微分方程. 第 6 章简要地介绍随机过程在破产 理论和金融衍生产品定价方面的应用. 学习本书的内容, 只需要具备高等数学、线性 代数和初等概率论的基础知识就可以了. 此外, 本书在每小节之后还自备了一定数量 的习题. 目的是通过这些习题的演练, 希望读者尽快掌握相应章节的基本理论和方法.
本书可以作为高等院校统计、经济、金融、管理以及理工科各相关专业的高年级 本科生学习随机过程的教材或教学参考书, 也可作为有关专业硕士研究生的教材和教 学参考书, 对广大从事与随机现象相关工作的科技工作者也具有参考价值.
本书在写作过程中参考了国内外许多优秀的教材和论著, 在此向他们表示感谢和 敬意. 本书能够及时出版, 还要感谢清华大学出版社刘颖编审的大力支持和帮助. 本书 内容在大连民族大学统计学专业、数学与应用数学专业以及信息与计算科学专业讲授 多次, 感谢同学们对课程内容的浓厚兴趣和热烈讨论, 同时纠正了一些打印错误.
白晓东
2018 年 5 月
精简随机过程的内容，分散随机过程的难点，注重内容的可读性，以满足数学基础不是太强的读者也可以学懂的教材。
目录
目 录
第 1 章 引论 1
1.1 预备知识 1
1.1.1 概率空间 1
1.1.2 随机变量 5
1.1.3 黎曼-斯蒂尔切斯积分 10
1.1.4 数字特征 13
1.1.5 矩母函数、特征函数 15
1.1.6 几个重要的极限定理 17
习题 1.1. 19
1.2 随机过程的基本概念 19
1.2.1 随机过程的定义 19
1.2.2 随机过程的有限维分布族和数字特征 21
1.2.3 平稳过程 23
1.2.4 独立增量过程 23
习题 1.2. 24
1.3 泊松过程 25
1.3.1 泊松过程的概念 25
1.3.2 指数流与泊松过程 29
1.3.3 指数流的条件分布 33
1.3.4 剩余寿命与年龄 35
1.3.5 非时齐泊松过程 37
习题 1.3. 40
1.4 布朗运动 42
1.4.1 布朗运动的概念 42
1.4.2 布朗运动轨道的性质 45
1.4.3 首中时 47
1.4.4 布朗运动的几种变化 48
习题 1.4. 52
第 2 章 条件数学期望与鞍 53
2.1 条件数学期望的概念 53
2.1.1 离散型随机变量的条件数学期望 53
2.1.2 连续型随机变量的条件数学期望 54
2.1.3 一般随机变量的条件数学期望 56
习题 2.1. 57
2.2 条件数学期望的基本性质与应用 58
2.2.1 条件数学期望的基本性质 58
2.2.2 复合泊松过程 59
2.2.3 条件泊松过程 60
2.2.4 反正弦律 62
2.2.5 其他例子 63
习题 2.2. 64
2.3 鞍的基本概念 65
2.3.1 鞍的概念与举例 66
2.3.2 上鞍与下鞍 70
2.3.3 鞍的分解定理 72
2.3.4 关于鞍的两个不等式 74
习题 2.3. 75
2.4 停时与停时定理 76
2.4.1 停时的概念 77
2.4.2 停时定理 78
2.4.3 停时定理的补充 82
习题 2.4. 83
2.5 鞍收敛定理 85
2.5.1 上穿不等式 85
2.5.2 鞍收敛定理 86
习题 2.5. 88
2.6 连续鞍初步 89
习题 2.6. 91
第 3 章 更新过程 92
3.1 更新过程的概念 92
3.1.1 更新过程的定义 92
3.1.2 更新次数的极限 93
3.1.3 卷积及其性质 95
3.1.4 更新函数及其基本性质 96
习题 3.1. 97
3.2 更新方程和更新定理 98
3.2.1 更新方程及其基本性质 98
3.2.2 更新定理 102
习题 3.2. 106
3.3 更新过程的推广 107
3.3.1 交替更新过程 107
3.3.2 延迟更新过程 109
3.3.3 更新回报过程 109
习题 3.3. 111
第 4 章 马尔可夫链 113
4.1 马尔可夫链及其转移概率 113
4.1.1 基本概念 113
4.1.2 查普曼-柯尔莫戈洛夫方程 115
习题 4.1. 118
4.2 状态的分类及其性质 119
4.2.1 互通 119
4.2.2 常返与非常返状态 120
4.2.3 正常返和零常返状态 124
4.2.4 周期与遍历状态 125
习题 4.2. 127
4.3 状态空间的分解 129
4.3.1 闭集 129
4.3.2 分解定理 130
习题 4.3. 132
4.4 极限定理与平稳分布 135
4.4.1 极限定理 135
4.4.2 平稳分布 136
习题 4.4. 140
4.5 连续时间马尔可夫链 142
4.5.1 概念和基本性质 142
4.5.2 转移概率的性质 143
4.5.3 柯尔莫戈洛夫向前-向后微分方程 145
习题 4.5. 148
第 5 章 随机积分与随机微分方程 149
5.1 伊藤积分的定义 149
5.1.1 简单过程的伊藤积分 149
5.1.2 适应过程的伊藤积分 152
习题 5.1. 155
5.2 伊藤积分过程 155
5.2.1 伊藤积分的鞍性 155
5.2.2 伊藤积分的二次变差和协变差 156
5.2.3 伊藤积分与高斯过程 158
习题 5.2. 159
5.3 伊藤公式 159
5.3.1 关于布朗运动的伊藤公式 159
5.3.2 伊藤过程与随机微分 162
5.3.3 关于伊藤过程的伊藤公式 165
习题 5.3. 169
5.4 随机微分方程 171
5.4.1 随机微分方程的定义 171
5.4.2 随机指数和对数 173
5.4.3 线性随机微分方程的解 176
……
习题 5.4. 178
第 6 章 随机过程在金融保险中的应用举例 179
6.1 破产理论 179
6.1.1 风险过程与破产概率的相关概念 179
6.1.2 安全负荷与调节系数 182
6.1.3 破产概率的估计 184
习题 6.1. 188
6.2 金融衍生产品的定价 188
6.2.1 金融术语和基本假定 189
6.2.2 定价方法 190
习题 6.2. 192
参考文献 193
序言
随机过程是一族随机事件动态关系的定量描述. 作为概率论的延伸和发展, 随机 过程论与数学、物理等许多学科的分支有着密切的联系, 并己广泛应用于物理、化学、 生物、气象、天文、经济、金融、运筹决策、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科 学等诸多领域, 己经成为自然科学、工程科学和社会科学各领域研究随机现象的重要 工具.
目前, 国内外有关随机过程的教材己有很多, 其中一些需要读者具备实变函数、泛 函分析和高等概率论的基础知识, 其主要阅读对象是数学系概率论与数理统计专业和 精英型的统计学专业的学生； 另一些则只需读者具备高等数学、线性代数和初等概率 论的知识, 其主要阅读对象是侧重应用的统计学类各专业和其他理工科及经管类相关 专业的学生. 随着我国招生制度的变化, 大部分高校的统计学及其相关专业的培养目 标逐步转为复合应用型人才的培养. 在人才培养过程中, 既强调具备一定的理论基础, 又强调应用能力的提高. 显然那些需要过多数学基础, 讲述过于抽象的教材和重点放 在直观理解、叙述不严谨的教材都己经不能适应这一变化.
为适应培养要求的转变, 满足更多专业学生的学习需求, 本书在借鉴国内外相关 优秀教材的基础上, 着重突出三个特色. 第一是内容精简实用. 本书在保留了几类常用 的经典随机过程的基础上, 力求讲清楚最基本的概念、性质和方法, 去掉过于专门化的 讨论, 使得绝大多数内容能够在课程规定的学时内完成. 第二是内容的安排上, 尽量在 保持理论体系的同时将难点分散； 同时, 兼顾不同专业讲授时选题的需要. 例如, 我们 在 1.2 节讲完随机过程的基本概念之后, 在 1.3 节和 1.4 节就安排了两类重要的平稳独 立增量过程 -- 泊松过程和布朗运动. 目的是, 一方面让学生尽快感受具体随机过程 的研究方法； 另一方面将难点分散, 便于学生掌握. 又如, 我们将条件数学期望和鞍论 合在一起放在第 2 章, 这是考虑到, 一方面大多数初等概率论对条件数学期望的讲解 偏少, 甚至忽略, 需要专门的篇幅讲解； 另一方面这两块知识联系紧密, 便于学生迅速 将条件数学期望的知识应用于鞍论, 从而更好地掌握这两部分知识. 再如, 我们在第 6 章专门安排了随机过程在保险和金融中的两个应用, 便于需要这部分知识的专业去选 题. 其实, 6.1 节破产理论, 在讲完第 3 章更新过程之后就可以讲授了. 第三是力求增
强可读性. 教材的可读性体现在, 要有严谨的理论, 准确的语言, 明晰的脉络, 简练、生 动而明达的表述, 不能让读者感到冗繁与艰涩. 诚然, 上述种种是本教材努力追求的.
本书主要包括以下内容. 第 1 章在总结复习概率论相关知识的基础上, 介绍随机 过程的基本概念, 同时较为系统地介绍两类重要的平稳独立增量过程--泊松过程和 布朗运动. 第 2 章分别介绍条件数学期望和鞍论的知识以及它们简单的应用. 第 3 章 介绍更新过程的概念、性质、更新方程、更新定理以及更新过程的几个推广. 第 4 章 介绍离散时间马尔可夫链的概念、性质、状态的分类、状态空间的分解、极限定理、平 稳分布以及连续时间马尔可夫链的概念和基本性质. 第 5 章介绍伊藤积分的概念和性 质、伊藤积分过程、伊藤公式以及随机微分方程. 第 6 章简要地介绍随机过程在破产 理论和金融衍生产品定价方面的应用. 学习本书的内容, 只需要具备高等数学、线性 代数和初等概率论的基础知识就可以了. 此外, 本书在每小节之后还自备了一定数量 的习题. 目的是通过这些习题的演练, 希望读者尽快掌握相应章节的基本理论和方法.
本书可以作为高等院校统计、经济、金融、管理以及理工科各相关专业的高年级 本科生学习随机过程的教材或教学参考书, 也可作为有关专业硕士研究生的教材和教 学参考书, 对广大从事与随机现象相关工作的科技工作者也具有参考价值.
本书在写作过程中参考了国内外许多优秀的教材和论著, 在此向他们表示感谢和 敬意. 本书能够及时出版, 还要感谢清华大学出版社刘颖编审的大力支持和帮助. 本书 内容在大连民族大学统计学专业、数学与应用数学专业以及信息与计算科学专业讲授 多次, 感谢同学们对课程内容的浓厚兴趣和热烈讨论, 同时纠正了一些打印错误.
白晓东
2018 年 5 月
| ISBN | 9787302507345 |
|---|---|
| 出版社 | 清华大学出版社有限公司 |
| 作者 | 白晓东 |
| 尺寸 | 16 |