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《矩阵线性组合的广义逆及其应用》由科学出版社出版。
作者简介
刘晓冀，广西民族大学教授，2003年博士毕业于西安电子科技大学，华东师范大学博士后，目前主要从事矩阵偏序、数值代数等方面的教学和科研工作，在Mathematics of Computation，Numerical Linear Algebra withApplications，Linear Algebra and its Application，《数学学报》《计算数学》等国内外刊物上发表60余篇学术论文。
目录
序
符号表
第1章引言1
1.1矩阵线性组合的Drazin逆2
1.2分块矩阵的广义逆3
1.3特殊矩阵线性组合的相关性质6
第2章两个矩阵和的Drazin逆9
2.1在P3Q=QP和Q3P=PQ条件下矩阵和的Drazin逆9
2.2在PQ=P2条件下矩阵和的Drazin逆20
2.3在PQ2=P2Q和P2Q2=0条件下矩阵和的Drazin逆27
2.4在PQ=P条件下矩阵和的Drazin逆40
2.5在P2Q=PQP，Q2P=QPQ条件下矩阵和的Drazin逆46
2.6在ABAπ=0条件下矩阵和的Drazin逆56
2.7幂等矩阵线性组合的群逆59
2.8三次幂等矩阵组合的群可逆性73
2.9k次幂等矩阵线性组合的奇异性80
2.10k次幂等矩阵线性组合的群逆84
2.11两个群可逆矩阵与两个三次幂等矩阵组合的非奇异性103
2.12群可逆矩阵组合的群逆110
2.13在aba=a，bab=b条件下环上元素交换子ab—ba的可逆性118
第3章分块矩阵的广义逆131
3.1在AB=0和DC=0条件下分块矩阵的Drazin逆131
3.2在D2=1／2CB和AB=0条件下分块矩阵的Drazin逆149
3.3在A=BC和B=BD条件下分块矩阵的Drazin逆161
3.4基于秩可加性分块矩阵的广义逆166
3.5基于Banachiewicz—Schur形式分块矩阵的广义逆184
3.6Sherman—Morrison—Woodbury型公式207
3.7结合Schur补与分块矩阵的广义逆211
3.8分块矩阵的群逆217
第4章特殊矩阵及其线性组合的性质240
4.1两个幂等矩阵的谱240
4.2幂等矩阵线性组合的群对合248
4.3Moore—PenroseHermitian矩阵的线性组合261
4.4由α，β确定的二次矩阵与任何一个矩阵线性组合的对合性271
4.5立方幂等矩阵与任何一个矩阵线性组合的对合性283
4.6广义投影矩阵线性组合的研究289
4.7n次超广义幂等的线性组合293
参考文献298
索引313
文摘
第1章 引言
近几十年来，矩阵的广义逆已被越来越多的学者所研究和熟悉。广义逆的思想最早被人们提出是在1903年，I。Fredholm在研究Fredholm积分算子问题时首次涉及积分算子广义逆的内容。而任意矩阵的广义逆的提出是在1920年，E.H.Moore在Bulletin of the American Mathematical Society上以投影矩阵的形式定义了矩阵的广义逆，当时并未引起人们广泛的关注。1955年，R.Penrose在Journal of the Cambridge Philosophical Society上以简洁明了的形式定义了矩阵的广义逆，用符号表示，给定，若对某个矩阵满足以下四个矩阵方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（1.0.1）
则称X为A的Moore-Penrose逆。
1958年，美国数学家M.P.Drazin提出了结合半群和环上的广义逆，后来便称它为Drazin逆。即
设，矩阵满足
（1k）
（2）
（5）
称X为A的Drazin逆，用符号AD表示。当时，X为A群逆，用符号表示，记。从此以后广义逆理论开始逐步的发展，并广泛地应用在各个学科中，如数值线性代数、控制论、最小二乘、非线性方程、回归分析、Markov链[23；41.44；54。57；74；194；250]。
定义1.0.1 若，矩阵A的秩记为r（A），满足的最小非负整数k称为A的指标，记。
定义1.0.2 设，如果整数满足下列不等式则称为大于等于x的最大整数。
定义1.0.3 设，如果整数满足下列不等式则称bxc为小于等于x的最大整数。
记
其中n表示矩阵阶数。则由文献[6]得到。
1.1 矩阵线性组合的Drazin逆
在矩阵理论、概率统计理论、线性系统理论、微分和差分方程、Markov链以及控制论等领域，Drazin逆有着重要的作用。Koliha将Banach代数上Drazin逆的应用推广到了Banach空间上的线性算子。在文献[146]中，Koliha推导了当ab=ba=0时，a+b的广义Drazin逆的表示。对于a，b，如何给出a+b广义Drazin逆的表示一直是个难题和公开的问题。
魏益民、Hartwig等国内外专家研究了如何利用矩阵A，B表示矩阵和A+B的Drazin逆，得到了在两个矩阵交换、单边乘积为零等多种情况下的Drazin逆表示，主要使用的技术是利用矩阵的特殊分块矩阵的Drazin逆表示，并利用得到的相应结果讨论矩阵Drazin逆的扰动问题，得到了一些较为深刻的结果。Castro等在G2F=FG2=0条件下研究了算子和G+F的Drazin逆，并由此给出了一些类型的算子分块矩阵Drazin逆的表示。文献[180]中，在满足条件PQ2=0，Q2=0下M.F.Martinez-Serrano和N.Castro-Gonzalez给出了两个矩阵和的Drazin逆的一个表示。杨虎等给出了在PQP=0；PQ2=0情况下P+Q的Drazin逆。最近国内外专家研究了特殊矩阵线性组合的Drazin逆的表示，得到了一系列结论。但一般情形下的矩阵和的Drazin逆表示还未得到。
1999年，J.Fill和D.Fishkind[121]研究A；B满足r（A+B）=r（A）+r（B）时的广义逆表示。
引理1.1.1[51] 设，则
引理1.1.2[140] 设，其中s=Ind（P），h=Ind（Q）。若PQ=0，则
注记1.1.3 （i）若引理1.1.2中，则
（ii）若引理1.1.2中QP=0，则（P+Q）D=PD+QD：
引理1.1.4[140；结论2.1] 令。如果AB=0，A是幂零，则
1.2 分块矩阵的广义逆
分块矩阵Drazin逆的表示问题是Drazin逆研究的一个经典问题，该问题不仅在矩阵代数中有重要意义，而且在自动化、数值分析、广义系统、马尔可夫和迭代法等诸多方面有着深刻的应用背景，尤其在奇异线性差分方程解析解的表示中，分块矩阵Drazin逆是不可或缺的工具。
1979年，Campbell和Meyer在求解一类二阶微分方程的解析解时提出了如何用矩阵的子块A；B；C；D来表示分块矩阵的Drazin逆的公开问题。1983年，Campbell首先解决了分块下三角矩阵的表示问题，同时提出了反三角矩阵的表示公开问题。由此，国内外许多专家对这两个公开问题进行了诸多研究。
由于这两个问题的困难性，国内外许多专家只得到在一定的条件下M的Drazin逆表达式。1996年，Hartwig给出了上三角矩阵群逆的表达式。2005年，Castro和Dopazo得到了的Drazin逆的表达式，进而在条件下得到了的Drazin逆的表达式。卜长江教授等在EF=FE下给出了的Drazin逆的表达式，获得了一类微分方程的解析解，进而得到了（其中的Drazin逆的表达式。郭丽博士在条件下给出了的Drazin逆的表达式。
N.Castro，E.Dopazo和J.Robles[63]于2006年又给出了矩阵在VTQ=0时的Drazin逆的表达式：
（1.2.1）
其中，且
其中r=Ind（PTQ），
（1.2.4）
最近，Zizong Yan[245]利用满秩分解给出了更为简洁的的Moore-Penrose逆的表达式。对于上三角算子矩阵，许庆祥教授等给出了上三角算子矩阵的指标，而对于反三角算子矩阵在AB=0，CA=0的情况下，得到了T的Drazin逆的表达式及指标。
矩阵的Schur补和广义Schur补是矩阵理论中非常重要的概念，它们有着广泛的应用，如在数值计算、E-算法、预条件子、线性控制等问题中。
国内外许多专家研究了的Drazin在何种条件下具有Babac-hiewicz-Schur形式并给出了若干充分条件，但是这些充分条件含有多个等式，而等式之间的关系并没有研究过。
引理1.2.1[182] 令M1和M2为的复矩阵，其中A和B为复方阵。令r=Ind（A）和s=Ind（B），则和
引理1.2.2[71；推论2.5] 令。则
引理1.2.3[115] 若M满足BC=0和BD=0，则
其中
引理1.2.4[104] 设。如果AB=0，则
其中
1.3 特殊矩阵线性组合的相关性质
1980年，C.G.Khatri主要研究的是：若A是秩为r的n阶矩阵且令，则
（i）M是秩为r的幂等矩阵的充要条件是；
（ii）M是秩为r的幂等矩阵且trrA=1的充要条件是A是埃尔米特幂等矩阵。
1999年，J.urgen Gro给出了是幂等矩阵的等价条件是，其中N是非奇异上三角矩阵，且。
2000年，J.K.Baksalary等主要研究的内容是利用A1，A2是两个不同的非零矩阵，且满足，在或者的条件下，给出线性组合是幂等矩阵的等价条件。
2002年，J.K.Baksalary等根据E是非零的幂等矩阵，F是立方幂等矩阵且F可以分解为，其中F1，F2是非零的幂等矩阵，指出线性组合是幂等矩阵的充要条件。
2004年，H.Ozdemir等应用A1，A2，A3是三个非零的不同的可交换的幂等矩阵，给出了线性组合或者是幂等矩阵的所有可能的情形。
2004年，J.K.Baksalary等利用A1，A2是非零的可交换的立方幂等矩阵，其中且，从而给出是立方幂等矩阵的等价条件。O.M.Baksalary根据A1，A2，A3是非零的幂等矩阵且A2，A3满足，从而推出线性组合是幂等矩阵的所有情况。
2005年，J.Benitez等利用关系式，在的条件下，给出线性组合是幂等矩阵的充要条件。
2006年，J.K.Baksalary等根据A1，A2是非零的幂等矩阵，在或者，或者的条件下，给出线性组合群对合时的等价条件。
《矩阵线性组合的广义逆及其应用》由科学出版社出版。
作者简介
刘晓冀，广西民族大学教授，2003年博士毕业于西安电子科技大学，华东师范大学博士后，目前主要从事矩阵偏序、数值代数等方面的教学和科研工作，在Mathematics of Computation，Numerical Linear Algebra withApplications，Linear Algebra and its Application，《数学学报》《计算数学》等国内外刊物上发表60余篇学术论文。
目录
序
符号表
第1章引言1
1.1矩阵线性组合的Drazin逆2
1.2分块矩阵的广义逆3
1.3特殊矩阵线性组合的相关性质6
第2章两个矩阵和的Drazin逆9
2.1在P3Q=QP和Q3P=PQ条件下矩阵和的Drazin逆9
2.2在PQ=P2条件下矩阵和的Drazin逆20
2.3在PQ2=P2Q和P2Q2=0条件下矩阵和的Drazin逆27
2.4在PQ=P条件下矩阵和的Drazin逆40
2.5在P2Q=PQP，Q2P=QPQ条件下矩阵和的Drazin逆46
2.6在ABAπ=0条件下矩阵和的Drazin逆56
2.7幂等矩阵线性组合的群逆59
2.8三次幂等矩阵组合的群可逆性73
2.9k次幂等矩阵线性组合的奇异性80
2.10k次幂等矩阵线性组合的群逆84
2.11两个群可逆矩阵与两个三次幂等矩阵组合的非奇异性103
2.12群可逆矩阵组合的群逆110
2.13在aba=a，bab=b条件下环上元素交换子ab—ba的可逆性118
第3章分块矩阵的广义逆131
3.1在AB=0和DC=0条件下分块矩阵的Drazin逆131
3.2在D2=1／2CB和AB=0条件下分块矩阵的Drazin逆149
3.3在A=BC和B=BD条件下分块矩阵的Drazin逆161
3.4基于秩可加性分块矩阵的广义逆166
3.5基于Banachiewicz—Schur形式分块矩阵的广义逆184
3.6Sherman—Morrison—Woodbury型公式207
3.7结合Schur补与分块矩阵的广义逆211
3.8分块矩阵的群逆217
第4章特殊矩阵及其线性组合的性质240
4.1两个幂等矩阵的谱240
4.2幂等矩阵线性组合的群对合248
4.3Moore—PenroseHermitian矩阵的线性组合261
4.4由α，β确定的二次矩阵与任何一个矩阵线性组合的对合性271
4.5立方幂等矩阵与任何一个矩阵线性组合的对合性283
4.6广义投影矩阵线性组合的研究289
4.7n次超广义幂等的线性组合293
参考文献298
索引313
文摘
第1章 引言
近几十年来，矩阵的广义逆已被越来越多的学者所研究和熟悉。广义逆的思想最早被人们提出是在1903年，I。Fredholm在研究Fredholm积分算子问题时首次涉及积分算子广义逆的内容。而任意矩阵的广义逆的提出是在1920年，E.H.Moore在Bulletin of the American Mathematical Society上以投影矩阵的形式定义了矩阵的广义逆，当时并未引起人们广泛的关注。1955年，R.Penrose在Journal of the Cambridge Philosophical Society上以简洁明了的形式定义了矩阵的广义逆，用符号表示，给定，若对某个矩阵满足以下四个矩阵方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（1.0.1）
则称X为A的Moore-Penrose逆。
1958年，美国数学家M.P.Drazin提出了结合半群和环上的广义逆，后来便称它为Drazin逆。即
设，矩阵满足
（1k）
（2）
（5）
称X为A的Drazin逆，用符号AD表示。当时，X为A群逆，用符号表示，记。从此以后广义逆理论开始逐步的发展，并广泛地应用在各个学科中，如数值线性代数、控制论、最小二乘、非线性方程、回归分析、Markov链[23；41.44；54。57；74；194；250]。
定义1.0.1 若，矩阵A的秩记为r（A），满足的最小非负整数k称为A的指标，记。
定义1.0.2 设，如果整数满足下列不等式则称为大于等于x的最大整数。
定义1.0.3 设，如果整数满足下列不等式则称bxc为小于等于x的最大整数。
记
其中n表示矩阵阶数。则由文献[6]得到。
1.1 矩阵线性组合的Drazin逆
在矩阵理论、概率统计理论、线性系统理论、微分和差分方程、Markov链以及控制论等领域，Drazin逆有着重要的作用。Koliha将Banach代数上Drazin逆的应用推广到了Banach空间上的线性算子。在文献[146]中，Koliha推导了当ab=ba=0时，a+b的广义Drazin逆的表示。对于a，b，如何给出a+b广义Drazin逆的表示一直是个难题和公开的问题。
魏益民、Hartwig等国内外专家研究了如何利用矩阵A，B表示矩阵和A+B的Drazin逆，得到了在两个矩阵交换、单边乘积为零等多种情况下的Drazin逆表示，主要使用的技术是利用矩阵的特殊分块矩阵的Drazin逆表示，并利用得到的相应结果讨论矩阵Drazin逆的扰动问题，得到了一些较为深刻的结果。Castro等在G2F=FG2=0条件下研究了算子和G+F的Drazin逆，并由此给出了一些类型的算子分块矩阵Drazin逆的表示。文献[180]中，在满足条件PQ2=0，Q2=0下M.F.Martinez-Serrano和N.Castro-Gonzalez给出了两个矩阵和的Drazin逆的一个表示。杨虎等给出了在PQP=0；PQ2=0情况下P+Q的Drazin逆。最近国内外专家研究了特殊矩阵线性组合的Drazin逆的表示，得到了一系列结论。但一般情形下的矩阵和的Drazin逆表示还未得到。
1999年，J.Fill和D.Fishkind[121]研究A；B满足r（A+B）=r（A）+r（B）时的广义逆表示。
引理1.1.1[51] 设，则
引理1.1.2[140] 设，其中s=Ind（P），h=Ind（Q）。若PQ=0，则
注记1.1.3 （i）若引理1.1.2中，则
（ii）若引理1.1.2中QP=0，则（P+Q）D=PD+QD：
引理1.1.4[140；结论2.1] 令。如果AB=0，A是幂零，则
1.2 分块矩阵的广义逆
分块矩阵Drazin逆的表示问题是Drazin逆研究的一个经典问题，该问题不仅在矩阵代数中有重要意义，而且在自动化、数值分析、广义系统、马尔可夫和迭代法等诸多方面有着深刻的应用背景，尤其在奇异线性差分方程解析解的表示中，分块矩阵Drazin逆是不可或缺的工具。
1979年，Campbell和Meyer在求解一类二阶微分方程的解析解时提出了如何用矩阵的子块A；B；C；D来表示分块矩阵的Drazin逆的公开问题。1983年，Campbell首先解决了分块下三角矩阵的表示问题，同时提出了反三角矩阵的表示公开问题。由此，国内外许多专家对这两个公开问题进行了诸多研究。
由于这两个问题的困难性，国内外许多专家只得到在一定的条件下M的Drazin逆表达式。1996年，Hartwig给出了上三角矩阵群逆的表达式。2005年，Castro和Dopazo得到了的Drazin逆的表达式，进而在条件下得到了的Drazin逆的表达式。卜长江教授等在EF=FE下给出了的Drazin逆的表达式，获得了一类微分方程的解析解，进而得到了（其中的Drazin逆的表达式。郭丽博士在条件下给出了的Drazin逆的表达式。
N.Castro，E.Dopazo和J.Robles[63]于2006年又给出了矩阵在VTQ=0时的Drazin逆的表达式：
（1.2.1）
其中，且
其中r=Ind（PTQ），
（1.2.4）
最近，Zizong Yan[245]利用满秩分解给出了更为简洁的的Moore-Penrose逆的表达式。对于上三角算子矩阵，许庆祥教授等给出了上三角算子矩阵的指标，而对于反三角算子矩阵在AB=0，CA=0的情况下，得到了T的Drazin逆的表达式及指标。
矩阵的Schur补和广义Schur补是矩阵理论中非常重要的概念，它们有着广泛的应用，如在数值计算、E-算法、预条件子、线性控制等问题中。
国内外许多专家研究了的Drazin在何种条件下具有Babac-hiewicz-Schur形式并给出了若干充分条件，但是这些充分条件含有多个等式，而等式之间的关系并没有研究过。
引理1.2.1[182] 令M1和M2为的复矩阵，其中A和B为复方阵。令r=Ind（A）和s=Ind（B），则和
引理1.2.2[71；推论2.5] 令。则
引理1.2.3[115] 若M满足BC=0和BD=0，则
其中
引理1.2.4[104] 设。如果AB=0，则
其中
1.3 特殊矩阵线性组合的相关性质
1980年，C.G.Khatri主要研究的是：若A是秩为r的n阶矩阵且令，则
（i）M是秩为r的幂等矩阵的充要条件是；
（ii）M是秩为r的幂等矩阵且trrA=1的充要条件是A是埃尔米特幂等矩阵。
1999年，J.urgen Gro给出了是幂等矩阵的等价条件是，其中N是非奇异上三角矩阵，且。
2000年，J.K.Baksalary等主要研究的内容是利用A1，A2是两个不同的非零矩阵，且满足，在或者的条件下，给出线性组合是幂等矩阵的等价条件。
2002年，J.K.Baksalary等根据E是非零的幂等矩阵，F是立方幂等矩阵且F可以分解为，其中F1，F2是非零的幂等矩阵，指出线性组合是幂等矩阵的充要条件。
2004年，H.Ozdemir等应用A1，A2，A3是三个非零的不同的可交换的幂等矩阵，给出了线性组合或者是幂等矩阵的所有可能的情形。
2004年，J.K.Baksalary等利用A1，A2是非零的可交换的立方幂等矩阵，其中且，从而给出是立方幂等矩阵的等价条件。O.M.Baksalary根据A1，A2，A3是非零的幂等矩阵且A2，A3满足，从而推出线性组合是幂等矩阵的所有情况。
2005年，J.Benitez等利用关系式，在的条件下，给出线性组合是幂等矩阵的充要条件。
2006年，J.K.Baksalary等根据A1，A2是非零的幂等矩阵，在或者，或者的条件下，给出线性组合群对合时的等价条件。
| ISBN | 9787030558435 |
|---|---|
| 出版社 | 科学出版社 |
| 作者 | 刘晓冀 |
| 尺寸 | 16 |