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《复杂神经动力网络的稳定性和同步性》可供高等院校的自动化、控制理论、非线性科学、计算机、应用数学等相关专业的高年级本科生、研究生、教师，特别是从事神经网络理论、复杂网络、动力系统、智能控制理论研究的相关科技工作者借鉴和参考。
目录
前言
第1章绪论
1.1系统和动力系统的概念
1.2神经动力网络概述
1.3稳定性理论概述
1.4神经动力网络稳定性概述
1.5复杂网络及其同步性概述
1.6预备知识
1.6.1稳定性的几种定义
1.6.2连续系统的定性稳定性方法
1.6.3微分方程解的存在性和唯一性
1.6.4M矩阵及其相关等价关系
1.6.5正稳定矩阵及矩阵不等式
参考文献
第2章Cohen—Grossberg型递归神经网络的动态特性综述
2.1引言
2.2Cohen—Grossberg型递归神经网络的研究内容
2.2.1激励函数的演化过程
2.2.2连接权矩阵中的不确定性演化过程
2.2.3时滞的演化过程
2.2.4平衡点与激励函数的关系
2.2.5基于LMI的稳定结果证明方法和技巧
2.2.6稳定结果的表达形式
2.3Cohen—Grossberg型递归神经网络概述
2.4Cohen—Grossberg型神经网络稳定结果之间的比较
2.4.1非负平衡点的情况
2.4.2基于M矩阵和代数不等式的稳定结果
2.4.3基于矩阵不等式方法或混合方法的稳定结果
2.4.4递归神经网络的鲁棒稳定性问题
2.4.5稳定性结果的定性评价
2.5递归神经网络的充分必要稳定条件
2.6Lagrange稳定性研究概况
2.7有限时间有界稳定性研究概况
2.8小结
参考文献
第3章具有多重时滞的递归神经网络稳定性
3.1引言
3.2问题描述与基础知识
3.3全局渐近稳定结果
3.3.1具有不同多重时滞的情况
3.3.2具有多重时滞的情况
3.3.3具有单重常时滞的情况
3.4小结
参考文献
第4章具有未知时滞的Cohen—Grossberg型神经网络的稳定性
4.1引言
4.2问题描述与基础知识
4.3全局鲁棒指数稳定性结果
4.3.1具有不同多时变时滞的情况
4.3.2具有单时变时滞的情况
4.4仿真示例
4.5小结
参考文献
第5章有限分布时滞的Cohen—Grossberg神经网络的稳定性
5.1引言
5.2具有严格正的放大函数情况的全局渐近稳定性
5.3具有严格正的放大函数情况的全局鲁棒渐近稳定性
5.4具有非负放大函数情况的全局渐近稳定性
5.5仿真示例
5.6小结
参考文献
第6章无穷分布时滞的反应—扩散Cohen—Grossberg神经网络的稳定性
6.1具有Neumann边界条件的Cohen—Grossberg神经网络的稳定性
6.1.1引言
6.1.2基础知识
6.1.3全局渐近稳定性结果
6.1.4仿真示例
6.2具有Dirichlet边界条件的Cohen—Grossberg神经网络的稳定性
6.2.1引言
6.2.2基础知识
6.2.3全局渐近稳定结果
6.2.4仿真示例
6.3具有Neumann边界条件的多分布时滞神经网络的指数稳定性
6.3.1引言
6.3.2基础知识
6.3.3全局指数稳定性结果
6.3.4仿真示例
6.4小结
参考文献
第7章具有非对称耦合的复杂互联神经网络的同步稳定性
7.1稳定性与同步性的联系
7.2非对称耦合复杂网络的同步性简介
7.3问题描述与基础知识
7.4主要结果
7.5仿真示例
7.6小结
参考文献
第8章具有时变耦合连接的复杂神经动力网络的自适应同步
8.1引言
8.2问题描述与基础知识
8.3自适应同步策略
8.4仿真示例
8.5小结
参考文献
第9章具有时滞的复杂互联神经动力网络的容错同步
9.1引言
9.2问题描述与基础知识
9.3传感器故障时的复杂神经动力网络的被动容错同步
9.4基于驱动一响应框架的传感器故障下的自适应容错同步
9.5具有期望同步态的自适应容错同步
9.6仿真示例
9.7小结
参考文献
第10章问题总结与展望
10.1对控制理论与复杂网络的认识总结
10.2复杂网络同步性态源的研究
10.3神经动力网络和复杂神经动力网络的未来展望
文摘
第1章绪论
1.1系统和动力系统的概念
系统存在于自然界和人类社会活动的一切领域中。系统是控制理论(严格地说应是系统控制理论)所要研究的对象。从系统控制理论的角度看，通常将系统定义为由相互关联和相互制约的若干部分所组成的具有特定功能的一个整体。系统的状态由描述系统行为特征的变量来表示，随着时间的推移，系统会不断地演化。导致系统状态和演化进程发生变化的因素主要包括外部环境的影响、内部组成的相互作用以及人为的控制作用等。
系统作为控制理论的一个最为基本的概念，具有如下三个基本特征[1]：①整体性。整体性有两层基本含义：一是强调系统在结构上的整体性，即系统由部分所组成，各组成部分之间的相互作用是通过物质、能量和信息的交换来实现的；二是突出系统行为和功能由整体所决定的特点，系统可以具有其组成部分所没有的功能，有着相同组成部分，但它们的关联和作用关系不同的两个系统可以呈现出很不相同的行为和功能。②抽象性。在现实世界中，一个系统总是具有具体的物理、自然或社会属性。例如，工程领域中的机电系统、制造系统、电力系统、通信系统等，自然领域中的生物系统、生态系统、气候系统等，以及社会领域中的经济系统、人口系统、社会系统等。但是，作为系统控制理论研究对象的系统，常常弱化了具体系统的物理、自然或社会含义，而把它抽象化为一个一般意义下的系统模型(可视为绝对化的系统)而加以研究。系统概念的这种抽象化处理，有助于揭示系统的一般特性和规律，使系统控制理论的研究具有普适性，属于宏观的定性研究的范畴。同时，针对具体的特定实际系统，定性评价之后还需要进行微观的定量研究，如科学计算、仿真验证、实验检验等，这样，从定性和定量两方面将系统的规律和行为进行了解和掌握，实现综合设计的要求。③相对性。在系统的定义中，所谓系统和部分这种称谓具有相对的属性。事实上，对于一个系统而言，其组成部分通常也是由若干个更小的部分所组成的一个系统，而这个系统往往又是另一个系统的组成部分(如复杂网络系统、大规模互联系统等)。基于系统的这种相对关系，人们常把系统进一步分类为小系统、系统、大系统、巨系统等。这种区分反映了不同系统在组成规模和信息结构上的不同复杂程度。
动力系统的研究始于19世纪末期，自1881年起，庞加莱开始了常微分方程定 性理论的研究，其讨论的问题(如稳定性、周期轨道的存在及回归性等)以及所用研究方法的着眼点，即为后来的动力系统这一数学分支的创始[2]。伯克霍夫自1912年起，以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究，包括他得出的遍历性定理。在他们关心的天体力学或哈密顿系统的领域中，多年后出现了以太阳系稳定性为背景的柯尔莫哥洛夫{阿诺尔德{莫泽扭转定理。从1931年起，马尔可夫总结伯克霍夫理论，正式提出动力系统的抽象概念，苏联学者进一步推动了动力系统理论的发展。
在20世纪的中后期，动力系统的研究又产生了质的变化，这源于结构稳定性的研究。这方面的主要成果许多是在X是紧致光滑流形M的情况下得出的。M上的C1常微系统S，如果充分小的C1扰动不改变S的相图结构，就称为结构稳定的。也就是说，若M上任一C1常微系统Z充分靠近S，则有M到其自身上的一拓扑变换把S的轨线映到Z的轨线(这里所谓充分靠近是就C意义上来说的)。结构稳定性这一概念之所以为人们广泛接受，是因为在实际应用中所取的数学模型，比起真实现象，往往经过了简化，因此要使所取模型有效，就要求虽有小扰动但仍能有某种程度不变的结构。显然，从这个意义上的稳定性出发的动力系统理论，不仅涉及每一单个常微系统相图的整体性，也涉及同一流形上由许多常微系统组成的集合的整体性，换言之，这是大范围的。
常微系统结构稳定性的概念首先由安德罗诺夫和庞特里亚金于1937年就某类平面常微分方程组提出，但隔了20多年，在佩克索托给出了二维结构稳定系统稠密性定理后，才受到人们的重视。因为二维闭曲面上的结构稳定系统不仅有较简单的相图结构，且任一C1常微系统都可以由结构稳定系统来任意地靠近。在流形维数大于2时，是否也有同样的结论？这个问题激发了人们对微分动力系统的研究，在高维情况下结构稳定系统的相图一般很复杂，且稠密性定理不再成立。以斯梅尔为代表的数学家在微分动力系统研究方面作出了重要贡献，其影响经久不衰。例如，具有双曲构造的紧致不变子集仍然是许多具体课题的根苗。因为高维情况下稠密性定理不再成立，于是就介入了具有异常复杂性的分岔问题，这也许更符合自然界中出现的一些\混沌"现象。人们关心的洛伦兹奇异吸引子及费根堡姆现象很有启发性，这方面的研究已渗入物理、化学、生物等许多科学领域中。
那么，什么是动力系统？大量的文献提到过，但查找很多书和文章及结合网络搜索，确切地给出动力系统定义的文献零散分布在学位论文、经典书籍和互联网中，而在研究神经动力网络的书籍中还不多见。为此，下面根据不同的参考文献和网络搜索，给出几种动力系统的定义或解释，以便从不同的角度和语言描述来综合认识动力系统。
下面引用文献[3]中的原文来介绍：A dynamical system that evolves in time through the iterated application of an underlying dynamica lrule.Thattran-sition rule describes the change of the actual state in terms of itself and possibly alsoprevious states. The dependence of the state transition on the state of the systemitself means that the dynamics is recursive. In particular， a dynamical system is nota simple input-output transformation， but the actual states depend on the system'sown history. In fact， an input need not even be given to the system continuously， butrather it may be entirely sufficient if the input is only given as an initial state and thesystem is then allowed to evolve according only to its internal dynamical rules. Thiswill represent the typical paradigm of a dynamical system for us.
根据文献[3]，对于动力系统的理解主要有四方面的内容：同构性问题(isomor-phismproblem)、同一性问题(identity problem)、稳定性问题(stability problem)和动力系统的统计行为(statistical behavior of dynamical systems)。下面仅在稳定性问题上进行考虑，关于其他的方面，可参见文献[3]。
动力系统的定性行为在什么时候对初始摄动不敏感？根据动力系统将初始条件转换为渐近终态的观点来理解，这就是动态稳定性问题，即初始条件的微小变化将产生相似的终态。动力系统的终态可以用吸引子或吸引盆来描述，但这些吸引子的存在未必能够保证渐近终态的存在，如奇异吸引子、混沌吸引子等。根据对同构性问题的理解，这涉及结构稳定性的问题，即存在参数微小摄动的系统与参数摄动之前的原系统之间是同构的。根据对同一性问题的理解，系统(其形态或终态)在某一时间区间内没有发生结构变化，仍保持定性不变。
文献[4]认为动力系统是动态的，一些事情在发生，一些事情在随时间变化。自然界中的事物如何变化？Galilei和Newton在以自然遵循可用数学描述的不变法则(即确定性)为中心原则的革命中扮演了关键角色。事物的行为与演化的方式由确定不变的规则决定。众所周知，在动力系统之前的历史，是力学法则的发展史，是对严密科学的追求，以及经典力学与天体力学的全面发展史。Newton的革命基于如下的事实：自然原理可由数学语言描述，物理事件可依赖数学的确定性预测和设计。在力学、电学、磁学和热力学之后，其他自然科学也亦步亦趋，而社会科学也在掌握确定性的定量描述。这是经典动力系统的发展时期。基于上述确定性思想，动力系统首先是数学上的一个概念。其次，在动力系统中存在一个固定的规则，描述了几何空间中一个点随时间的变化情况。例如，钟摆晃动、管道中水的流动或者湖中每年春季鱼类的数量等数学模型都是动力系统。
该类描述形式都是基于模型在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依赖于当前状态。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔内状态只能演化出一个未来的状态。同时，书中详细列举了关于动力系统的起源和生动丰富的事例。
动力系统现代理论的研究起源于19世纪后期的庞加莱，他曾写过如下一段话以示异议：\如果我们精确地知道自然法则以及宇宙在初始时刻的状态，我们就能精确地预测这一宇宙在后续时刻的状态，但是，即使自然法则对我们已毫无秘密，我们也只能近似地知道初始状态。如果这能使我们以同等精度预见后续状态，那么这就是我们所需要的一切。我们说这一由自然法则确定的现象已被预测，但情形并不总是这样。可能初始条件的微小差别会导致最终结果的巨大差别，先前的小误差会导致后来的大误差，预测变得不可能"。庞加莱所得到的观点正是动力系统研究正在实践的：长期渐近行为的研究，特别是其定性方面，所需的是无须事先对解进行显式计算的方法。除了动力系统中的定性方法，概率现象也在起作用[4]。
研究动力系统的主要原因，是其在处理我们与周围世界的关系中具有随处可见的重要性。许多系统随时间连续变化，如力学系统，但也有些系统是一步一步间歇演化的，如关于每年蝴蝶数量的模型描述，就是依季节循环计时等。这种逐步过程的重要性还有另一理由，它不仅涉及周围的世界，也存在于我们的意识中，即发生在当我们以一系列重复的步骤走向通往闪烁不定的完整解答的道路中。在这样的过程中，动力系统提供了有助于进行分析的洞察力和方法。
在网络搜索到的动力系统定义如下：自然界中常出现一些随时间而演变的体系，如行星系、流体运动、物种绵续等，这样的一些体系，如果都有数学模型的话，则它们有一个共同的最基本的数学描述：有一个由所有可能发生的各种状态构成的集合，并有与时间有关的动态规律。这样，一个状态随时间变动而成为状态轨迹。如果状态集合是欧几里得空间或是一个拓扑空间，时间占满所属区域，动态规律还满足其他简单且自然的条件(见拓扑动力系统)，则得一动力系统。这时，过每一点状态就有一条轨线，即轨迹集合。
动力系统理论与常微分方程定性理论中所探讨的内容看似无多大的区别，然而它们有不同的侧面，动力系统着重在抽象系统而非具体方程的定性研究，其研究办法着眼于一族轨线间的相互关系，换言之，是整体性的。这整体性有些是拓扑式的，也有些是统计式的，后者主要是遍历性的。动力系统理论是经典常微分方程理论的一种发展。
文献[5]给出如下的介绍：动力系统的概念起源于常微分方程定性理论的研究，考虑定义在Rm上的微分方程组：
(1.1)
和初始条件x(0)=x0。其中。如果.(x)满足一定的条件，那么解可以对一切和有定义。将写为￠应满足如下关系：
满足上述条件的映射称为Rm中的动力系统或者流。对于给定的，把点集称为流á经过点x的轨道。从19世纪末开始，庞加莱等就对这样的系统轨道结构展开了研究。
需说明的是，式(1.1)作为一个特例，可取非线性函数.(x)满足如下条件：
(1.2)
式中，连续。当r>0时，a
《复杂神经动力网络的稳定性和同步性》可供高等院校的自动化、控制理论、非线性科学、计算机、应用数学等相关专业的高年级本科生、研究生、教师，特别是从事神经网络理论、复杂网络、动力系统、智能控制理论研究的相关科技工作者借鉴和参考。
目录
前言
第1章绪论
1.1系统和动力系统的概念
1.2神经动力网络概述
1.3稳定性理论概述
1.4神经动力网络稳定性概述
1.5复杂网络及其同步性概述
1.6预备知识
1.6.1稳定性的几种定义
1.6.2连续系统的定性稳定性方法
1.6.3微分方程解的存在性和唯一性
1.6.4M矩阵及其相关等价关系
1.6.5正稳定矩阵及矩阵不等式
参考文献
第2章Cohen—Grossberg型递归神经网络的动态特性综述
2.1引言
2.2Cohen—Grossberg型递归神经网络的研究内容
2.2.1激励函数的演化过程
2.2.2连接权矩阵中的不确定性演化过程
2.2.3时滞的演化过程
2.2.4平衡点与激励函数的关系
2.2.5基于LMI的稳定结果证明方法和技巧
2.2.6稳定结果的表达形式
2.3Cohen—Grossberg型递归神经网络概述
2.4Cohen—Grossberg型神经网络稳定结果之间的比较
2.4.1非负平衡点的情况
2.4.2基于M矩阵和代数不等式的稳定结果
2.4.3基于矩阵不等式方法或混合方法的稳定结果
2.4.4递归神经网络的鲁棒稳定性问题
2.4.5稳定性结果的定性评价
2.5递归神经网络的充分必要稳定条件
2.6Lagrange稳定性研究概况
2.7有限时间有界稳定性研究概况
2.8小结
参考文献
第3章具有多重时滞的递归神经网络稳定性
3.1引言
3.2问题描述与基础知识
3.3全局渐近稳定结果
3.3.1具有不同多重时滞的情况
3.3.2具有多重时滞的情况
3.3.3具有单重常时滞的情况
3.4小结
参考文献
第4章具有未知时滞的Cohen—Grossberg型神经网络的稳定性
4.1引言
4.2问题描述与基础知识
4.3全局鲁棒指数稳定性结果
4.3.1具有不同多时变时滞的情况
4.3.2具有单时变时滞的情况
4.4仿真示例
4.5小结
参考文献
第5章有限分布时滞的Cohen—Grossberg神经网络的稳定性
5.1引言
5.2具有严格正的放大函数情况的全局渐近稳定性
5.3具有严格正的放大函数情况的全局鲁棒渐近稳定性
5.4具有非负放大函数情况的全局渐近稳定性
5.5仿真示例
5.6小结
参考文献
第6章无穷分布时滞的反应—扩散Cohen—Grossberg神经网络的稳定性
6.1具有Neumann边界条件的Cohen—Grossberg神经网络的稳定性
6.1.1引言
6.1.2基础知识
6.1.3全局渐近稳定性结果
6.1.4仿真示例
6.2具有Dirichlet边界条件的Cohen—Grossberg神经网络的稳定性
6.2.1引言
6.2.2基础知识
6.2.3全局渐近稳定结果
6.2.4仿真示例
6.3具有Neumann边界条件的多分布时滞神经网络的指数稳定性
6.3.1引言
6.3.2基础知识
6.3.3全局指数稳定性结果
6.3.4仿真示例
6.4小结
参考文献
第7章具有非对称耦合的复杂互联神经网络的同步稳定性
7.1稳定性与同步性的联系
7.2非对称耦合复杂网络的同步性简介
7.3问题描述与基础知识
7.4主要结果
7.5仿真示例
7.6小结
参考文献
第8章具有时变耦合连接的复杂神经动力网络的自适应同步
8.1引言
8.2问题描述与基础知识
8.3自适应同步策略
8.4仿真示例
8.5小结
参考文献
第9章具有时滞的复杂互联神经动力网络的容错同步
9.1引言
9.2问题描述与基础知识
9.3传感器故障时的复杂神经动力网络的被动容错同步
9.4基于驱动一响应框架的传感器故障下的自适应容错同步
9.5具有期望同步态的自适应容错同步
9.6仿真示例
9.7小结
参考文献
第10章问题总结与展望
10.1对控制理论与复杂网络的认识总结
10.2复杂网络同步性态源的研究
10.3神经动力网络和复杂神经动力网络的未来展望
文摘
第1章绪论
1.1系统和动力系统的概念
系统存在于自然界和人类社会活动的一切领域中。系统是控制理论(严格地说应是系统控制理论)所要研究的对象。从系统控制理论的角度看，通常将系统定义为由相互关联和相互制约的若干部分所组成的具有特定功能的一个整体。系统的状态由描述系统行为特征的变量来表示，随着时间的推移，系统会不断地演化。导致系统状态和演化进程发生变化的因素主要包括外部环境的影响、内部组成的相互作用以及人为的控制作用等。
系统作为控制理论的一个最为基本的概念，具有如下三个基本特征[1]：①整体性。整体性有两层基本含义：一是强调系统在结构上的整体性，即系统由部分所组成，各组成部分之间的相互作用是通过物质、能量和信息的交换来实现的；二是突出系统行为和功能由整体所决定的特点，系统可以具有其组成部分所没有的功能，有着相同组成部分，但它们的关联和作用关系不同的两个系统可以呈现出很不相同的行为和功能。②抽象性。在现实世界中，一个系统总是具有具体的物理、自然或社会属性。例如，工程领域中的机电系统、制造系统、电力系统、通信系统等，自然领域中的生物系统、生态系统、气候系统等，以及社会领域中的经济系统、人口系统、社会系统等。但是，作为系统控制理论研究对象的系统，常常弱化了具体系统的物理、自然或社会含义，而把它抽象化为一个一般意义下的系统模型(可视为绝对化的系统)而加以研究。系统概念的这种抽象化处理，有助于揭示系统的一般特性和规律，使系统控制理论的研究具有普适性，属于宏观的定性研究的范畴。同时，针对具体的特定实际系统，定性评价之后还需要进行微观的定量研究，如科学计算、仿真验证、实验检验等，这样，从定性和定量两方面将系统的规律和行为进行了解和掌握，实现综合设计的要求。③相对性。在系统的定义中，所谓系统和部分这种称谓具有相对的属性。事实上，对于一个系统而言，其组成部分通常也是由若干个更小的部分所组成的一个系统，而这个系统往往又是另一个系统的组成部分(如复杂网络系统、大规模互联系统等)。基于系统的这种相对关系，人们常把系统进一步分类为小系统、系统、大系统、巨系统等。这种区分反映了不同系统在组成规模和信息结构上的不同复杂程度。
动力系统的研究始于19世纪末期，自1881年起，庞加莱开始了常微分方程定 性理论的研究，其讨论的问题(如稳定性、周期轨道的存在及回归性等)以及所用研究方法的着眼点，即为后来的动力系统这一数学分支的创始[2]。伯克霍夫自1912年起，以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究，包括他得出的遍历性定理。在他们关心的天体力学或哈密顿系统的领域中，多年后出现了以太阳系稳定性为背景的柯尔莫哥洛夫{阿诺尔德{莫泽扭转定理。从1931年起，马尔可夫总结伯克霍夫理论，正式提出动力系统的抽象概念，苏联学者进一步推动了动力系统理论的发展。
在20世纪的中后期，动力系统的研究又产生了质的变化，这源于结构稳定性的研究。这方面的主要成果许多是在X是紧致光滑流形M的情况下得出的。M上的C1常微系统S，如果充分小的C1扰动不改变S的相图结构，就称为结构稳定的。也就是说，若M上任一C1常微系统Z充分靠近S，则有M到其自身上的一拓扑变换把S的轨线映到Z的轨线(这里所谓充分靠近是就C意义上来说的)。结构稳定性这一概念之所以为人们广泛接受，是因为在实际应用中所取的数学模型，比起真实现象，往往经过了简化，因此要使所取模型有效，就要求虽有小扰动但仍能有某种程度不变的结构。显然，从这个意义上的稳定性出发的动力系统理论，不仅涉及每一单个常微系统相图的整体性，也涉及同一流形上由许多常微系统组成的集合的整体性，换言之，这是大范围的。
常微系统结构稳定性的概念首先由安德罗诺夫和庞特里亚金于1937年就某类平面常微分方程组提出，但隔了20多年，在佩克索托给出了二维结构稳定系统稠密性定理后，才受到人们的重视。因为二维闭曲面上的结构稳定系统不仅有较简单的相图结构，且任一C1常微系统都可以由结构稳定系统来任意地靠近。在流形维数大于2时，是否也有同样的结论？这个问题激发了人们对微分动力系统的研究，在高维情况下结构稳定系统的相图一般很复杂，且稠密性定理不再成立。以斯梅尔为代表的数学家在微分动力系统研究方面作出了重要贡献，其影响经久不衰。例如，具有双曲构造的紧致不变子集仍然是许多具体课题的根苗。因为高维情况下稠密性定理不再成立，于是就介入了具有异常复杂性的分岔问题，这也许更符合自然界中出现的一些\混沌"现象。人们关心的洛伦兹奇异吸引子及费根堡姆现象很有启发性，这方面的研究已渗入物理、化学、生物等许多科学领域中。
那么，什么是动力系统？大量的文献提到过，但查找很多书和文章及结合网络搜索，确切地给出动力系统定义的文献零散分布在学位论文、经典书籍和互联网中，而在研究神经动力网络的书籍中还不多见。为此，下面根据不同的参考文献和网络搜索，给出几种动力系统的定义或解释，以便从不同的角度和语言描述来综合认识动力系统。
下面引用文献[3]中的原文来介绍：A dynamical system that evolves in time through the iterated application of an underlying dynamica lrule.Thattran-sition rule describes the change of the actual state in terms of itself and possibly alsoprevious states. The dependence of the state transition on the state of the systemitself means that the dynamics is recursive. In particular， a dynamical system is nota simple input-output transformation， but the actual states depend on the system'sown history. In fact， an input need not even be given to the system continuously， butrather it may be entirely sufficient if the input is only given as an initial state and thesystem is then allowed to evolve according only to its internal dynamical rules. Thiswill represent the typical paradigm of a dynamical system for us.
根据文献[3]，对于动力系统的理解主要有四方面的内容：同构性问题(isomor-phismproblem)、同一性问题(identity problem)、稳定性问题(stability problem)和动力系统的统计行为(statistical behavior of dynamical systems)。下面仅在稳定性问题上进行考虑，关于其他的方面，可参见文献[3]。
动力系统的定性行为在什么时候对初始摄动不敏感？根据动力系统将初始条件转换为渐近终态的观点来理解，这就是动态稳定性问题，即初始条件的微小变化将产生相似的终态。动力系统的终态可以用吸引子或吸引盆来描述，但这些吸引子的存在未必能够保证渐近终态的存在，如奇异吸引子、混沌吸引子等。根据对同构性问题的理解，这涉及结构稳定性的问题，即存在参数微小摄动的系统与参数摄动之前的原系统之间是同构的。根据对同一性问题的理解，系统(其形态或终态)在某一时间区间内没有发生结构变化，仍保持定性不变。
文献[4]认为动力系统是动态的，一些事情在发生，一些事情在随时间变化。自然界中的事物如何变化？Galilei和Newton在以自然遵循可用数学描述的不变法则(即确定性)为中心原则的革命中扮演了关键角色。事物的行为与演化的方式由确定不变的规则决定。众所周知，在动力系统之前的历史，是力学法则的发展史，是对严密科学的追求，以及经典力学与天体力学的全面发展史。Newton的革命基于如下的事实：自然原理可由数学语言描述，物理事件可依赖数学的确定性预测和设计。在力学、电学、磁学和热力学之后，其他自然科学也亦步亦趋，而社会科学也在掌握确定性的定量描述。这是经典动力系统的发展时期。基于上述确定性思想，动力系统首先是数学上的一个概念。其次，在动力系统中存在一个固定的规则，描述了几何空间中一个点随时间的变化情况。例如，钟摆晃动、管道中水的流动或者湖中每年春季鱼类的数量等数学模型都是动力系统。
该类描述形式都是基于模型在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依赖于当前状态。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔内状态只能演化出一个未来的状态。同时，书中详细列举了关于动力系统的起源和生动丰富的事例。
动力系统现代理论的研究起源于19世纪后期的庞加莱，他曾写过如下一段话以示异议：\如果我们精确地知道自然法则以及宇宙在初始时刻的状态，我们就能精确地预测这一宇宙在后续时刻的状态，但是，即使自然法则对我们已毫无秘密，我们也只能近似地知道初始状态。如果这能使我们以同等精度预见后续状态，那么这就是我们所需要的一切。我们说这一由自然法则确定的现象已被预测，但情形并不总是这样。可能初始条件的微小差别会导致最终结果的巨大差别，先前的小误差会导致后来的大误差，预测变得不可能"。庞加莱所得到的观点正是动力系统研究正在实践的：长期渐近行为的研究，特别是其定性方面，所需的是无须事先对解进行显式计算的方法。除了动力系统中的定性方法，概率现象也在起作用[4]。
研究动力系统的主要原因，是其在处理我们与周围世界的关系中具有随处可见的重要性。许多系统随时间连续变化，如力学系统，但也有些系统是一步一步间歇演化的，如关于每年蝴蝶数量的模型描述，就是依季节循环计时等。这种逐步过程的重要性还有另一理由，它不仅涉及周围的世界，也存在于我们的意识中，即发生在当我们以一系列重复的步骤走向通往闪烁不定的完整解答的道路中。在这样的过程中，动力系统提供了有助于进行分析的洞察力和方法。
在网络搜索到的动力系统定义如下：自然界中常出现一些随时间而演变的体系，如行星系、流体运动、物种绵续等，这样的一些体系，如果都有数学模型的话，则它们有一个共同的最基本的数学描述：有一个由所有可能发生的各种状态构成的集合，并有与时间有关的动态规律。这样，一个状态随时间变动而成为状态轨迹。如果状态集合是欧几里得空间或是一个拓扑空间，时间占满所属区域，动态规律还满足其他简单且自然的条件(见拓扑动力系统)，则得一动力系统。这时，过每一点状态就有一条轨线，即轨迹集合。
动力系统理论与常微分方程定性理论中所探讨的内容看似无多大的区别，然而它们有不同的侧面，动力系统着重在抽象系统而非具体方程的定性研究，其研究办法着眼于一族轨线间的相互关系，换言之，是整体性的。这整体性有些是拓扑式的，也有些是统计式的，后者主要是遍历性的。动力系统理论是经典常微分方程理论的一种发展。
文献[5]给出如下的介绍：动力系统的概念起源于常微分方程定性理论的研究，考虑定义在Rm上的微分方程组：
(1.1)
和初始条件x(0)=x0。其中。如果.(x)满足一定的条件，那么解可以对一切和有定义。将写为￠应满足如下关系：
满足上述条件的映射称为Rm中的动力系统或者流。对于给定的，把点集称为流á经过点x的轨道。从19世纪末开始，庞加莱等就对这样的系统轨道结构展开了研究。
需说明的是，式(1.1)作为一个特例，可取非线性函数.(x)满足如下条件：
(1.2)
式中，连续。当r>0时，a
| ISBN | 9787030399311,7030399315 |
|---|---|
| 出版社 | 科学出版社 |
| 作者 | 王占山 |
| 尺寸 | 5 |