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目录
第1章向量代数与空间解析几何1
一、 基本要求1
二、 知识网络图1
1.1空间直角坐标系和向量2
一、 知识要点2
二、 疑难解析5
三、 课后习题选解(习题1.1)6
1.2向量的坐标表示8
一、 知识要点8
二、 疑难解析9
三、 经典题型详解10
四、 课后习题选解(习题1.2)11
1.3向量的数量积、向量积和混合积12
一、 知识要点12
二、 疑难解析14
三、 经典题型详解15
四、 课后习题选解(习题 1.3)16
1.4平面及其方程18
一、 知识要点18
二、 疑难解析19
三、 经典题型详解20
四、 课后习题选解(习题1.4)21
1.5空间直线及其方程23
一、 知识要点23
二、 疑难解析25
三、 经典题型详解26
四、 课后习题选解(习题1.5)27
1.6空间曲面、曲线及其方程30
一、 知识要点30目录目录二、 课后习题选解(习题1.6)32
1.7几类特殊的曲面及其方程32
一、 知识要点32
二、 课后习题选解(习题1.7)35
复习题1解答37
自测题141
第2章多元函数微分学及其应用42
一、 基本要求42
二、 知识网络图42
2.1多元函数的极限与连续43
一、 知识要点43
二、 疑难解析46
三、 经典题型详解47
四、 课后习题选解(习题2.1)49
2.2偏导数与全微分52
一、 知识要点52
二、 疑难解析54
三、 经典题型详解55
四、 课后习题选解(习题2.2)56
2.3多元复合函数的微分法59
一、 知识要点59
二、 疑难解析61
三、 经典题型详解61
四、 课后习题选解(习题 2.3)63
2.4隐函数求导法则65
一、 知识要点65
二、 经典题型详解67
三、 课后习题选解(习题 2.4)68
2.5高阶偏导数71
一、 知识要点71
二、 疑难解析72
三、 经典题型详解73
四、 课后习题选解(习题 2.5)74
2.6偏导数与全微分的应用(Ⅰ)--几何应用75
一、 知识要点75
二、 经典题型详解77
三、课后习题选解(习题2.6)79
2.7偏导数与全微分的应用(Ⅱ)--极值与最值82
一、 知识要点82
二、 疑难解析83
三、 经典题型详解84
四、 课后习题选解(习题 2.7)86
2.8偏导数与全微分的应用(Ⅲ)--方向导数和梯度90
一、 知识要点90
二、 疑难解析91
三、 经典题型详解92
四、 课后习题选解(习题2.8)93
复习题2解答95
自测题2101
第3章重积分103
一、 基本要求103
二、 知识网络图103
3.1二重积分的概念与性质103
一、 知识要点103
二、 疑难解析105
三、 经典题型详解106
四、 课后习题选解(习题3.1)108
3.2二重积分的计算方法110
一、 知识要点110
二、 疑难解析113
三、 经典题型详解114
四、 课后习题选解(习题3.2)118
3.3三重积分的概念及计算126
一、 知识要点126
二、 经典题型详解130
三、 课后习题选解(习题3.3)134
3.4重积分的应用140
一、 知识要点140
二、 课后习题选解(习题3.4)141
复习题3解答146
自测题3152
第4章曲线积分与曲面积分154
一、 基本要求154
二、 知识网络图154
4.1对弧长的曲线积分155
一、 知识要点155
二、 疑难解析156
三、 经典题型详解157
四、 课后习题选解（习题4.1）158
4.2对坐标的曲线积分160
一、 知识要点160
二、 疑难解析162
三、 经典题型详解162
四、 课后习题选解（习题4.2）164
4.3格林公式及其应用166
一、 知识要点166
二、 疑难解析167
三、 经典题型详解168
四、 课后习题选解（习题4.3）170
4.4对面积的曲面积分173
一、 知识要点173
二、 经典题型详解175
三、 课后习题选解（习题4.4）177
4.5对坐标的曲面积分179
一、 知识要点179
二、 疑难解析181
三、 经典题型详解182
四、 课后习题选解（习题4.5）184
4.6高斯公式、通量与散度187
一、 知识要点187
二、 疑难解析189
三、 经典题型详解189
四、 课后习题选解（习题4.6）191
4.7斯托克斯公式、环流量与旋度194
一、 知识要点194
二、 疑难解析195
三、 经典题型详解196
四、 课后习题选解（习题4.7）198
复习题4解答200
自测题4208
第5章无 穷 级 数209
一、 基本要求209
二、 知识网络图209
5.1常数项级数（Ⅰ）--基本概念与性质210
一、 知识要点210
二、 疑难解析211
三、 经典题型详解212
四、 课后习题选解（习题5.1）213
5.2常数项级数（Ⅱ）--正项级数的敛散性216
一、 知识要点216
二、 疑难解析216
三、 经典题型详解217
四、 课后习题选解（习题5.2）219
5.3常数项级数（Ⅲ）--任意项级数的敛散性222
一、 知识要点222
二、 疑难解析223
三、 经典题型详解223
四、 课后习题选解（习题5.3）225
5.4函数项级数（Ⅰ）--幂级数227
一、 知识要点227
二、 疑难解析229
三、 经典题型详解230
四、 课后习题选解（习题5.4）234
5.5函数项级数（Ⅱ）--泰勒级数237
一、 知识要点237
二、 疑难解析238
三、 经典题型详解238
四、 课后习题选解（习题5.5）242
5.6函数项级数（Ⅲ）--傅里叶级数244
一、 知识要点244
二、 疑难解析246
三、 课后习题选解（习题5.6）246
复习题5解答250
自测题5257
序言
众所周知，初等数学以常量为研究对象，而高等数学则以变量为研究对象，二者在研究内容、解题方法及技巧上存在许多本质上的差异。对于高等学校的理工科大学生，学习高等数学的重要性是不言而喻的，但要完成从初等数学到高等数学的思维跨越需要一个过程，想学好这门课程并不容易。编者认为，学好高等数学的第一要素是学习并用好“规则”，这些“规则”包括: 教材内容涵盖的定义、性质、定理、推论及一些重要的结论等。学习并用好“规则”可分为三个阶段: 初级阶段是规范并合理使用“规则”，即能够使用基本概念和基本结论解决一些较为直观的问题；中级阶段是掌握并灵活运用“规则”，随着学习的深入，“规则”越来越多，需要解决的问题亦是如此，此阶段要求学生能够解决具有一定难度的问题；高级阶段是熟知并综合利用“规则”，通过规范的培养训练，使学生能够解决一些启发性和综合性较强的问题。
编写本部学习指导书源于以下两方面的考虑:
一是加强教材内容的认知。目前已出版并正在使用的《高等数学》教材都有各自的特点和优势，但限于篇幅，不可能完全覆盖并诠释每个知识点的内涵和适用范围。想要达到“以人为本、因材施教、夯实基础、创新应用”的指导思想，任重道远。
二是弥补课堂教学的不足。学生在学习高等数学时，课堂教学只是其中的一部分。由于教学时数的限制，导致课堂教学密度大、速度快，多数大一新生不能适应高等数学教学方式和方法，并且许多解题方法与技巧不可能在课堂上得到完整的讲解与演练，当然更谈不上让学生系统掌握这些方法与技巧。
为此，本书对教材的各个知识要点进行了必要的提炼、释疑、分析、串联，目的是帮助初学者理解、熟悉并规范使用“规则”，掌握必要的解题方法与技巧，使其能够对各知识要点有更好的理解和参悟，达到融会贯通的效果，进而提升综合解题能力和自主学习能力。
本部学习指导书的章节与普通高等教育“十三五”规划教材《高等数学》(清华大学出版社，袁学刚和张友主编)同步，与其他版本《高等数学》教材的内容并行，可以作为大一学生的学习指导书，与课堂教学同步使用，也可作为备考硕士研究生的考生进行总结性复习或专题性研究的学习资料。本书各章节的基本框架如下:
知识要点: 列出本节必须掌握的知识点，包括定义、性质、定理、推论、一些重要的结论，并配以必要的说明。
疑难解析: 根据多年教学的经验，选择一些容易出现理解不到位和混淆的知识点进行解答，帮助读者正确理解并合理使用这些“规则”。前言前言 经典题型详解: 每节精选了一些基础类、提高类和综合类的经典题型，给出有针对性的分析、归纳和总结，引领读者分析问题的内涵、定位所用的知识点、指出使用的方法和技巧，进而提高读者对相关“规则”的认知能力和综合应用能力。
课后习题选解及复习题解答: 针对配套教材的课后习题和复习题中具有一定难度的题目给出了部分解答，更重要的是体现解题的标准步骤和解题的方法及技巧。
自测题: 在经典题型和课后习题基础上，精选了一些难度适中及较高的题目，其中包括一些考研真题。
本书由大连民族大学理学院组织编写。袁学刚和张友任主编，负责全书的统稿及定稿。参与编写本书的教师有: 谢丛波(第1章)、张文正(第2章)、董丽(第3、4章)、楚振艳(第5章)。
感谢大连民族大学各级领导在编写本书时给予的关心和支持。感谢清华大学出版社的刘颖编审在编写本书时给予的具体指导及宝贵建议。本书在编写过程中，参阅了一些同行专家编写的辅导书，在此一并表示感谢。
由于编者水平有限，成书仓促，书中一定存在某些不足或错误，恳请广大同行和读者批评指正。
编者2018年6月
文摘
第3章重积分
一、 基本要求
1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解并会应用重积分的性质.
2. 熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分.
3. 会利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分.
4. 会利用重积分求立体体积、曲面面积、平面薄片和空间立体的质量、质心和转动惯量、平面薄片和空间立体对空间一质点的引力等几何与物理量.
二、 知识网络图
3.1二重积分的概念与性质
一、 知识要点〖*2〗1. 二重积分的概念定义3.1设D是可求面积的有界闭区域，函数f(x,y)在D上有界.首先将D用线网任意分割成n个小闭区域Δσi(i=1,2,…,n)，其中Δσi也表示该小闭区域的面积；然后在每个小闭区域Δσi上任取一点ξi,ηi，作乘积fξi,ηiΔσi，再作和∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi.如果limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi存在(记作J)，则称f(x,y)在D上可积，称极限值J为f(x,y)在D上的二重积分，记作Df(x,y)dσ，即Df(x,y)dσ=J=limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi.(3.1)符号说明: 定义3.1中，λ=max1≤i≤n{λi}，它表示各小闭区域的直径中的最大值λ；小区域Δσi的直径定义为Δσi中任意两点距离的最大值，记作λi.在式(3.1)中，f(x,y)称为被积函数，f(x,y)dσ称为被积表达式，dσ称为面积微元，D称为积分区域，∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi称为积分和.
定理3.1当函数f(x,y)在有界闭区域D上连续时，二重积分Df(x,y)dσ必存在.
第3章重积分3.1二重积分的概念与性质2. 二重积分的几何解释
对于放置在空间直角坐标系中的曲顶柱体，如图3.1所示，它的顶为曲面z=f(x,y)，(x,y)∈D，底为xOy坐标面上区域D，图3.1
侧面为以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面.二重积分的几何解释是: 当被积函数f(x,y)≥0时，Df(x,y)dσ表示上述曲顶柱体的体积；当f(x,y)≤0时，Df(x,y)dσ表示曲顶柱体体积的负值；当f(x,y)在区域D上有正有负时，Df(x,y)dσ表示在xOy面的上、下曲顶柱体体积的代数和.特别地，当f(x,y)≡1，σ为闭区域D的面积时，D1dσ=Ddσ=σ.该等式表示: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于该柱体的底面积.
3. 二重积分的性质
在如下的各性质中，均假设函数f(x,y)和g(x,y)在有界闭区域D上可积.
性质1(线性性质)对于任意的α,β∈R，函数αf(x,y)+βg(x,y)在D上可积，且D［αf(x,y)+βg(x,y)］dσ=αDf(x,y)dσ+βDg(x,y)dσ.性质1的结论可推广到有限个可积函数的线性组合的积分，即k1,k2,…,kr∈R，有Dk1f1(x,y)+k2f2(x,y)+…+krfr(x,y)dσ
=k1Df1(x,y)dσ+k2Df2(x,y)dσ+…+krDfr(x,y)dσ.性质2(积分区域的可加性)如果D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2，则有Df(x,y)dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσ.性质3(保序性质)在D上，如果有f(x,y)≤g(x,y)，则有Df(x,y)dσ≤Dg(x,y)dσ.特别地，如下的绝对值不等式成立: Df(x,y)dσ≤D|f(x,y)|dσ.性质4(积分的估值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，M,m分别为f(x,y)在D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则有mσ≤Df(x,y)dσ≤Mσ.性质5(积分中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为D的面积，则至少存在一点(ξ,η)∈D，使得Df(x,y)dσ=f(ξ,η)σ.4. 二重积分的对称性质
给定一个平面区域D，(x,y)∈D，若有(x,－y)∈D，则称区域D关于x轴对称；若有(－x,y)∈D，则称D关于y轴对称；若有(－x,－y)∈D，则称D关于原点对称.
对称性1如果积分区域D关于x轴对称，设D1=(x,y)(x,y)∈D,y≥0，则Df(x,y)dσ=0,f(x,－y)=－f(x,y)；
2D1f(x,y)dσ，f(x,－y)=f(x,y).对称性2如果积分区域D关于y轴对称，设D1=(x,y)(x,y)∈D,x≥0，则Df(x,y)dσ=0,f(－x,y)=－f(x,y)；
2D1f(x,y)dσ，f(－x,y)=f(x,y).对称性3如果积分区域D关于坐标原点对称，设D1=(x,y)(x,y)∈D,x≥0，则Df(x,y)dσ=0,f(－x,－y)=－f(x,y)；
2D1f(x,y)dσ，f(－x,－y)=f(x,y).二、 疑难解析
1. 如何理解二重积分的定义，它与定积分的定义有何异同？
答二重积分的定义与定积分的定义的过程类似，都需要历经“分割、近似、求和、极限”这四个步骤.下面对二重积分的定义进行分解说明，请读者与定积分的定义自行比较.
(1) 当limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi存在时，式(3.1)的运算结果是一个数值，该数值仅与被积函数f(x,y)及积分区域D有关，而与积分变量用哪些字母表示无关，即Df(x,y)dσ=Df(u,v)dσ.(2) 对有界闭区域D的分割是任意的(用直线网或用曲线网分割均可)，点(ξi,ηi)在Δσi上的取法也是任意的，只有这两个“任意”同时被满足，且limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi存在的前提下，才称其极限值J为函数f(x,y)在D上的二重积分
与教材配套的高等数学辅导用书
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第1章向量代数与空间解析几何1
一、 基本要求1
二、 知识网络图1
1.1空间直角坐标系和向量2
一、 知识要点2
二、 疑难解析5
三、 课后习题选解(习题1.1)6
1.2向量的坐标表示8
一、 知识要点8
二、 疑难解析9
三、 经典题型详解10
四、 课后习题选解(习题1.2)11
1.3向量的数量积、向量积和混合积12
一、 知识要点12
二、 疑难解析14
三、 经典题型详解15
四、 课后习题选解(习题 1.3)16
1.4平面及其方程18
一、 知识要点18
二、 疑难解析19
三、 经典题型详解20
四、 课后习题选解(习题1.4)21
1.5空间直线及其方程23
一、 知识要点23
二、 疑难解析25
三、 经典题型详解26
四、 课后习题选解(习题1.5)27
1.6空间曲面、曲线及其方程30
一、 知识要点30目录目录二、 课后习题选解(习题1.6)32
1.7几类特殊的曲面及其方程32
一、 知识要点32
二、 课后习题选解(习题1.7)35
复习题1解答37
自测题141
第2章多元函数微分学及其应用42
一、 基本要求42
二、 知识网络图42
2.1多元函数的极限与连续43
一、 知识要点43
二、 疑难解析46
三、 经典题型详解47
四、 课后习题选解(习题2.1)49
2.2偏导数与全微分52
一、 知识要点52
二、 疑难解析54
三、 经典题型详解55
四、 课后习题选解(习题2.2)56
2.3多元复合函数的微分法59
一、 知识要点59
二、 疑难解析61
三、 经典题型详解61
四、 课后习题选解(习题 2.3)63
2.4隐函数求导法则65
一、 知识要点65
二、 经典题型详解67
三、 课后习题选解(习题 2.4)68
2.5高阶偏导数71
一、 知识要点71
二、 疑难解析72
三、 经典题型详解73
四、 课后习题选解(习题 2.5)74
2.6偏导数与全微分的应用(Ⅰ)--几何应用75
一、 知识要点75
二、 经典题型详解77
三、课后习题选解(习题2.6)79
2.7偏导数与全微分的应用(Ⅱ)--极值与最值82
一、 知识要点82
二、 疑难解析83
三、 经典题型详解84
四、 课后习题选解(习题 2.7)86
2.8偏导数与全微分的应用(Ⅲ)--方向导数和梯度90
一、 知识要点90
二、 疑难解析91
三、 经典题型详解92
四、 课后习题选解(习题2.8)93
复习题2解答95
自测题2101
第3章重积分103
一、 基本要求103
二、 知识网络图103
3.1二重积分的概念与性质103
一、 知识要点103
二、 疑难解析105
三、 经典题型详解106
四、 课后习题选解(习题3.1)108
3.2二重积分的计算方法110
一、 知识要点110
二、 疑难解析113
三、 经典题型详解114
四、 课后习题选解(习题3.2)118
3.3三重积分的概念及计算126
一、 知识要点126
二、 经典题型详解130
三、 课后习题选解(习题3.3)134
3.4重积分的应用140
一、 知识要点140
二、 课后习题选解(习题3.4)141
复习题3解答146
自测题3152
第4章曲线积分与曲面积分154
一、 基本要求154
二、 知识网络图154
4.1对弧长的曲线积分155
一、 知识要点155
二、 疑难解析156
三、 经典题型详解157
四、 课后习题选解（习题4.1）158
4.2对坐标的曲线积分160
一、 知识要点160
二、 疑难解析162
三、 经典题型详解162
四、 课后习题选解（习题4.2）164
4.3格林公式及其应用166
一、 知识要点166
二、 疑难解析167
三、 经典题型详解168
四、 课后习题选解（习题4.3）170
4.4对面积的曲面积分173
一、 知识要点173
二、 经典题型详解175
三、 课后习题选解（习题4.4）177
4.5对坐标的曲面积分179
一、 知识要点179
二、 疑难解析181
三、 经典题型详解182
四、 课后习题选解（习题4.5）184
4.6高斯公式、通量与散度187
一、 知识要点187
二、 疑难解析189
三、 经典题型详解189
四、 课后习题选解（习题4.6）191
4.7斯托克斯公式、环流量与旋度194
一、 知识要点194
二、 疑难解析195
三、 经典题型详解196
四、 课后习题选解（习题4.7）198
复习题4解答200
自测题4208
第5章无 穷 级 数209
一、 基本要求209
二、 知识网络图209
5.1常数项级数（Ⅰ）--基本概念与性质210
一、 知识要点210
二、 疑难解析211
三、 经典题型详解212
四、 课后习题选解（习题5.1）213
5.2常数项级数（Ⅱ）--正项级数的敛散性216
一、 知识要点216
二、 疑难解析216
三、 经典题型详解217
四、 课后习题选解（习题5.2）219
5.3常数项级数（Ⅲ）--任意项级数的敛散性222
一、 知识要点222
二、 疑难解析223
三、 经典题型详解223
四、 课后习题选解（习题5.3）225
5.4函数项级数（Ⅰ）--幂级数227
一、 知识要点227
二、 疑难解析229
三、 经典题型详解230
四、 课后习题选解（习题5.4）234
5.5函数项级数（Ⅱ）--泰勒级数237
一、 知识要点237
二、 疑难解析238
三、 经典题型详解238
四、 课后习题选解（习题5.5）242
5.6函数项级数（Ⅲ）--傅里叶级数244
一、 知识要点244
二、 疑难解析246
三、 课后习题选解（习题5.6）246
复习题5解答250
自测题5257
序言
众所周知，初等数学以常量为研究对象，而高等数学则以变量为研究对象，二者在研究内容、解题方法及技巧上存在许多本质上的差异。对于高等学校的理工科大学生，学习高等数学的重要性是不言而喻的，但要完成从初等数学到高等数学的思维跨越需要一个过程，想学好这门课程并不容易。编者认为，学好高等数学的第一要素是学习并用好“规则”，这些“规则”包括: 教材内容涵盖的定义、性质、定理、推论及一些重要的结论等。学习并用好“规则”可分为三个阶段: 初级阶段是规范并合理使用“规则”，即能够使用基本概念和基本结论解决一些较为直观的问题；中级阶段是掌握并灵活运用“规则”，随着学习的深入，“规则”越来越多，需要解决的问题亦是如此，此阶段要求学生能够解决具有一定难度的问题；高级阶段是熟知并综合利用“规则”，通过规范的培养训练，使学生能够解决一些启发性和综合性较强的问题。
编写本部学习指导书源于以下两方面的考虑:
一是加强教材内容的认知。目前已出版并正在使用的《高等数学》教材都有各自的特点和优势，但限于篇幅，不可能完全覆盖并诠释每个知识点的内涵和适用范围。想要达到“以人为本、因材施教、夯实基础、创新应用”的指导思想，任重道远。
二是弥补课堂教学的不足。学生在学习高等数学时，课堂教学只是其中的一部分。由于教学时数的限制，导致课堂教学密度大、速度快，多数大一新生不能适应高等数学教学方式和方法，并且许多解题方法与技巧不可能在课堂上得到完整的讲解与演练，当然更谈不上让学生系统掌握这些方法与技巧。
为此，本书对教材的各个知识要点进行了必要的提炼、释疑、分析、串联，目的是帮助初学者理解、熟悉并规范使用“规则”，掌握必要的解题方法与技巧，使其能够对各知识要点有更好的理解和参悟，达到融会贯通的效果，进而提升综合解题能力和自主学习能力。
本部学习指导书的章节与普通高等教育“十三五”规划教材《高等数学》(清华大学出版社，袁学刚和张友主编)同步，与其他版本《高等数学》教材的内容并行，可以作为大一学生的学习指导书，与课堂教学同步使用，也可作为备考硕士研究生的考生进行总结性复习或专题性研究的学习资料。本书各章节的基本框架如下:
知识要点: 列出本节必须掌握的知识点，包括定义、性质、定理、推论、一些重要的结论，并配以必要的说明。
疑难解析: 根据多年教学的经验，选择一些容易出现理解不到位和混淆的知识点进行解答，帮助读者正确理解并合理使用这些“规则”。前言前言 经典题型详解: 每节精选了一些基础类、提高类和综合类的经典题型，给出有针对性的分析、归纳和总结，引领读者分析问题的内涵、定位所用的知识点、指出使用的方法和技巧，进而提高读者对相关“规则”的认知能力和综合应用能力。
课后习题选解及复习题解答: 针对配套教材的课后习题和复习题中具有一定难度的题目给出了部分解答，更重要的是体现解题的标准步骤和解题的方法及技巧。
自测题: 在经典题型和课后习题基础上，精选了一些难度适中及较高的题目，其中包括一些考研真题。
本书由大连民族大学理学院组织编写。袁学刚和张友任主编，负责全书的统稿及定稿。参与编写本书的教师有: 谢丛波(第1章)、张文正(第2章)、董丽(第3、4章)、楚振艳(第5章)。
感谢大连民族大学各级领导在编写本书时给予的关心和支持。感谢清华大学出版社的刘颖编审在编写本书时给予的具体指导及宝贵建议。本书在编写过程中，参阅了一些同行专家编写的辅导书，在此一并表示感谢。
由于编者水平有限，成书仓促，书中一定存在某些不足或错误，恳请广大同行和读者批评指正。
编者2018年6月
文摘
第3章重积分
一、 基本要求
1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解并会应用重积分的性质.
2. 熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分.
3. 会利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分.
4. 会利用重积分求立体体积、曲面面积、平面薄片和空间立体的质量、质心和转动惯量、平面薄片和空间立体对空间一质点的引力等几何与物理量.
二、 知识网络图
3.1二重积分的概念与性质
一、 知识要点〖*2〗1. 二重积分的概念定义3.1设D是可求面积的有界闭区域，函数f(x,y)在D上有界.首先将D用线网任意分割成n个小闭区域Δσi(i=1,2,…,n)，其中Δσi也表示该小闭区域的面积；然后在每个小闭区域Δσi上任取一点ξi,ηi，作乘积fξi,ηiΔσi，再作和∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi.如果limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi存在(记作J)，则称f(x,y)在D上可积，称极限值J为f(x,y)在D上的二重积分，记作Df(x,y)dσ，即Df(x,y)dσ=J=limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi.(3.1)符号说明: 定义3.1中，λ=max1≤i≤n{λi}，它表示各小闭区域的直径中的最大值λ；小区域Δσi的直径定义为Δσi中任意两点距离的最大值，记作λi.在式(3.1)中，f(x,y)称为被积函数，f(x,y)dσ称为被积表达式，dσ称为面积微元，D称为积分区域，∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi称为积分和.
定理3.1当函数f(x,y)在有界闭区域D上连续时，二重积分Df(x,y)dσ必存在.
第3章重积分3.1二重积分的概念与性质2. 二重积分的几何解释
对于放置在空间直角坐标系中的曲顶柱体，如图3.1所示，它的顶为曲面z=f(x,y)，(x,y)∈D，底为xOy坐标面上区域D，图3.1
侧面为以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面.二重积分的几何解释是: 当被积函数f(x,y)≥0时，Df(x,y)dσ表示上述曲顶柱体的体积；当f(x,y)≤0时，Df(x,y)dσ表示曲顶柱体体积的负值；当f(x,y)在区域D上有正有负时，Df(x,y)dσ表示在xOy面的上、下曲顶柱体体积的代数和.特别地，当f(x,y)≡1，σ为闭区域D的面积时，D1dσ=Ddσ=σ.该等式表示: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于该柱体的底面积.
3. 二重积分的性质
在如下的各性质中，均假设函数f(x,y)和g(x,y)在有界闭区域D上可积.
性质1(线性性质)对于任意的α,β∈R，函数αf(x,y)+βg(x,y)在D上可积，且D［αf(x,y)+βg(x,y)］dσ=αDf(x,y)dσ+βDg(x,y)dσ.性质1的结论可推广到有限个可积函数的线性组合的积分，即k1,k2,…,kr∈R，有Dk1f1(x,y)+k2f2(x,y)+…+krfr(x,y)dσ
=k1Df1(x,y)dσ+k2Df2(x,y)dσ+…+krDfr(x,y)dσ.性质2(积分区域的可加性)如果D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2，则有Df(x,y)dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσ.性质3(保序性质)在D上，如果有f(x,y)≤g(x,y)，则有Df(x,y)dσ≤Dg(x,y)dσ.特别地，如下的绝对值不等式成立: Df(x,y)dσ≤D|f(x,y)|dσ.性质4(积分的估值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，M,m分别为f(x,y)在D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则有mσ≤Df(x,y)dσ≤Mσ.性质5(积分中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为D的面积，则至少存在一点(ξ,η)∈D，使得Df(x,y)dσ=f(ξ,η)σ.4. 二重积分的对称性质
给定一个平面区域D，(x,y)∈D，若有(x,－y)∈D，则称区域D关于x轴对称；若有(－x,y)∈D，则称D关于y轴对称；若有(－x,－y)∈D，则称D关于原点对称.
对称性1如果积分区域D关于x轴对称，设D1=(x,y)(x,y)∈D,y≥0，则Df(x,y)dσ=0,f(x,－y)=－f(x,y)；
2D1f(x,y)dσ，f(x,－y)=f(x,y).对称性2如果积分区域D关于y轴对称，设D1=(x,y)(x,y)∈D,x≥0，则Df(x,y)dσ=0,f(－x,y)=－f(x,y)；
2D1f(x,y)dσ，f(－x,y)=f(x,y).对称性3如果积分区域D关于坐标原点对称，设D1=(x,y)(x,y)∈D,x≥0，则Df(x,y)dσ=0,f(－x,－y)=－f(x,y)；
2D1f(x,y)dσ，f(－x,－y)=f(x,y).二、 疑难解析
1. 如何理解二重积分的定义，它与定积分的定义有何异同？
答二重积分的定义与定积分的定义的过程类似，都需要历经“分割、近似、求和、极限”这四个步骤.下面对二重积分的定义进行分解说明，请读者与定积分的定义自行比较.
(1) 当limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi存在时，式(3.1)的运算结果是一个数值，该数值仅与被积函数f(x,y)及积分区域D有关，而与积分变量用哪些字母表示无关，即Df(x,y)dσ=Df(u,v)dσ.(2) 对有界闭区域D的分割是任意的(用直线网或用曲线网分割均可)，点(ξi,ηi)在Δσi上的取法也是任意的，只有这两个“任意”同时被满足，且limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi存在的前提下，才称其极限值J为函数f(x,y)在D上的二重积分
| ISBN | 9787302509257 |
|---|---|
| 出版社 | 清华大学出版社有限公司 |
| 作者 | 袁学刚 |
| 尺寸 | 16 |