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《工科类大学数学公共课程系列数学丛书·普通高等教育"十三五"规划教材:高等数学同步学习辅导(下册)》可作为高等学校非数学专业学生学习高等数学课程的辅导教材，考研复习用书或教师教学参考书。
目录
前言
第7章空间解析几何与向量代数
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
典型例题
一、向量的计算
二、曲面与曲线
三、平面与直线
习题详解
习题7.1
习题7.2
习题7.3
习题7.4
习题7.5
习题7.6
习题7.7
综合练习题七详解
第8章多元函数微分学
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
典型例题
一、多元函数的极限
二、连续、偏导数及全微分的概念
三、偏导数、全微分的计算
四、方向导数与梯度的计算
五、微分法的几何应用
六、多元函数的极值
习题详解
习题8.1
习题8.2
习题8.3
习题8.4
习题8.5
习题8.6
习题8.7
习题8.8
综合练习题八详解
第9章重积分
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
典型例题
一、重积分的基本概念
二、二重积分的计算
三、三重积分的计算
习题详解
习题9.1
习题9.2
习题9.3
综合练习题九详解
第10章曲线积分与曲面积分
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
典型例题
一、对弧长的曲线积分的计算
二、对坐标的曲线积分的计算
三、对面积的曲面积分的计算
四、对坐标的曲面积分的计算
习题详解
习题10.1
习题10.2
习题10.3
习题10.4
习题10.5
习题10.6
习题10.7
综合练习题十详解
第11章无穷级数
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
典型例题
一、常数项级数收敛性的判定
二、求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域
三、求幂级数的和函数
四、求函数的幂级数展开式
五、求函数的傅里叶级数展开式
习题详解
习题11.1
习题11.2
习题11.3
习题11.4
习题11.5
习题11.6
综合练习题十一详解
参考文献
文摘
版权页：
插图：
第7章 空间解析几何与向量代数
知识总览
一、学习重点
1. 向量的线性运算、数量积、向量积的概念及坐标运算；
2. 向量垂直及平行的条件；
3. 平面方程和直线方程；
4. 平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；
5. 点到直线以及点到平面的距离；
6. 常用二次曲面的方程及其图形；
7. 旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
8. 空间曲线的参数方程和一般方程；
9. 空间曲线在坐标面上的投影。
二、知识体系
向量代数
向量的概念
向量的定义、直观表示与坐标表达式
向量的模、方向角、方向余弦，向量的投影
向量的运算
向量的线性运算、数量积、向量积、混合积
向量的夹角、向量的平行与垂直的条件
空间解析几何
平面、直线
平面
方程(点法式、一般式、截距式）
位置关系(夹角、平行、垂直、点到平面的距离）
直线
方程(点向式、一般式、参数式）
位置关系(夹角、平行、垂直、点到直线的距离）
平面与直线的位置关系(夹角、平行、垂直），平面束
曲面、曲线
曲面方程(一般式、旋转曲面、柱面、二次曲面）
曲线方程(一般式、参数式），投影曲线
典型例题
一、向量的计算
例1 已知两点P1(0，－1，2)和P2(1，2，4)，向量－2P1P2的坐标表达式为，与P1P2方向相同的单位向量为。
解 P1P2=OP2－OP1={1，2，4}－{0，－1，2}={1，3，2}，－2P1P2={－2，－6，－4}。
因，则与P1P2方向相同的单位向量为
例2 设
解 因
例3 设a=i+3j+2k，b=i－2j－3k，c=i+2j，求：
（1） (a×b) c；
（2） (a+b)×(b+c)；
（3） (a b)c－(a c)b。
解（1）
（2）
（3）
例4 已知a=2，b=2，且a b=2，则
解 因，则
所以。于是
例5 已知a={1，4，5}，b={1，1，2}，
（1） 若a+λb垂直于a－λb，求λ；
（2） 若a+λb平行于a－λb，求λ。
解 由(a+λb) (a－λb)=0，得a2－λ2b2=0，故λ2=a2/b2=7，于是
由(a+λb)×(a－λb)=0，得2λ(b×a)=0。而b×a≠0，故λ=0。
例6 求与向量a={2，－1，2}共线且满足a x=－18的向量x。
解 因a与x共线，则。由向量平行的充要条件，存在λ≠0，使得
又a x=－18，得4λ+λ+4λ=－18，于是λ=－2.故x=λa={－4，2，－4}。
二、曲面与曲线
例7 xOy平面上的圆x2+(y－2)2=1绕y轴旋转所生成的旋转曲面的方程为。
解 变量y保持不变，则x2+(y－2)2=1绕y轴旋转所生成的旋转曲面的方程为
例8 曲面4x2+9y2+z2=1与yOz平面的交线为。
解 yOz平面方程是x=0，与曲面4x2+9y2+z2=1联立，消去x，则曲面9y2+z2=1与yOz平面的交线为
例9 将曲线化为参数方程。
解 将z=x代入x2+2y2+(z+2)2=8，得(x+1)2+y2=3.令，得原曲线的参数方程为
例10 求曲线在xOy平面上的投影曲线的方程。
解 由所给方程组消去z，得x=y2+14(1－x)2，即(x－3)2+4y2=8，所以原曲线在xOy平面上的投影曲线为
例11 求曲面z=2x2+y2与z=x2+2x－4y+4所围成的立体在xOy平面上的投影区域。
解 两曲面的交线为
从方程中消去z，得(x－1)2+(y+2)2=9，则曲线C在xOy平面上的投影曲线为
显然，投影曲线是一个圆，所以所求立体在xOy平面上的投影区域就是该圆在xOy面上所围成的部分
三、平面与直线
例12 直线与平面x－y－2z+3=0（）。
（A） 平行；（B） 垂直；（C） 斜交；（D） 直线在平面上。
解 直线的方向向量为s={2，－4，3}，平面的法向量为n={1，-1，－2}，且
n s=2×1－4×(－1)+3×(－2)=0，
即n⊥s，而直线上的点(－1，－2，3)不在平面上，故直线与平面平行。
例13 平面π过z轴，且与平面π0:y－z=0 的夹角为π/3，求平面π的方程。
解 由于平面π过z轴，故设所求平面方程为Ax+By=0。由平面的夹角公式，得
解得A=±B。故设所求平面方程为x+y=0或x－y=0。
例14 求过点(1，2，－3)且同时平行于向量a={2，－1，3}和b={2，－1，2}的平面方程。
解 由于所求平面同时平行于向量a，b，则平面的法向量同时垂直于向量a，b，所以可以取它们的向量积为平面的法向量n，即
故所求的点法式方程为
(x－1)+2(y－2)=0，即x+2y－5=0。
例15 求过点(3，－2，1)且与两平面3x+y－2z－1=0和x+2y－3z+6=0都平行的直线方程。
解 由于所求直线与两平面3x+y－2z－1=0和x+2y－3z+6=0平行，故所求直线的与两平面的法向量n1，n2都垂直，故可取方向向量s为
又所求直线通过点(3，－2，1)，故所求直线的对称式方程为
例16 求直线与平面x+y+2z－4=0的交点和夹角。
解 直线的参数方程为代入平面方程得
1－2t+(－2+t)+2(3t)－4=0，
解得t=1。把t=1代入直线的参数方程，即得所求交点的坐标为(－1，－1，3)。
因直线的方向向量为s={－2，1，3}，平面的法向量为n={1，1，2}，故两者的夹角*满足
故直线与平面夹角为
例17 求点M0(1，－1，0)到直线的距离。
解 方法一 （1）求过点M0且垂直于直线L的平面π。
直线L的参数方程与对称式方程分别为
故过点M0且垂直于直线L的平面π为
3(x－1)+3(y+1)+2z=0。
（2）求出直线L与平面π的交点M1。
将直线L的参数方程代入平面π，得t=1/11。回代入参数方程得L与π的交点为
（3）求距离d=|M0M1|。
由两点间距离公式，点到直线的距离为
方法二 利用公式计算。
方法三 直线L的参数方程为。直线上任一M(x，y，z)与M0(1，－1，0)的距离的平方和为
其最小值为31/11，故点M0(1，－1，0)到直线L的距离为
《工科类大学数学公共课程系列数学丛书·普通高等教育"十三五"规划教材:高等数学同步学习辅导(下册)》可作为高等学校非数学专业学生学习高等数学课程的辅导教材，考研复习用书或教师教学参考书。
目录
前言
第7章空间解析几何与向量代数
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
典型例题
一、向量的计算
二、曲面与曲线
三、平面与直线
习题详解
习题7.1
习题7.2
习题7.3
习题7.4
习题7.5
习题7.6
习题7.7
综合练习题七详解
第8章多元函数微分学
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
典型例题
一、多元函数的极限
二、连续、偏导数及全微分的概念
三、偏导数、全微分的计算
四、方向导数与梯度的计算
五、微分法的几何应用
六、多元函数的极值
习题详解
习题8.1
习题8.2
习题8.3
习题8.4
习题8.5
习题8.6
习题8.7
习题8.8
综合练习题八详解
第9章重积分
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
典型例题
一、重积分的基本概念
二、二重积分的计算
三、三重积分的计算
习题详解
习题9.1
习题9.2
习题9.3
综合练习题九详解
第10章曲线积分与曲面积分
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
典型例题
一、对弧长的曲线积分的计算
二、对坐标的曲线积分的计算
三、对面积的曲面积分的计算
四、对坐标的曲面积分的计算
习题详解
习题10.1
习题10.2
习题10.3
习题10.4
习题10.5
习题10.6
习题10.7
综合练习题十详解
第11章无穷级数
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
典型例题
一、常数项级数收敛性的判定
二、求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域
三、求幂级数的和函数
四、求函数的幂级数展开式
五、求函数的傅里叶级数展开式
习题详解
习题11.1
习题11.2
习题11.3
习题11.4
习题11.5
习题11.6
综合练习题十一详解
参考文献
文摘
版权页：
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第7章 空间解析几何与向量代数
知识总览
一、学习重点
1. 向量的线性运算、数量积、向量积的概念及坐标运算；
2. 向量垂直及平行的条件；
3. 平面方程和直线方程；
4. 平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；
5. 点到直线以及点到平面的距离；
6. 常用二次曲面的方程及其图形；
7. 旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
8. 空间曲线的参数方程和一般方程；
9. 空间曲线在坐标面上的投影。
二、知识体系
向量代数
向量的概念
向量的定义、直观表示与坐标表达式
向量的模、方向角、方向余弦，向量的投影
向量的运算
向量的线性运算、数量积、向量积、混合积
向量的夹角、向量的平行与垂直的条件
空间解析几何
平面、直线
平面
方程(点法式、一般式、截距式）
位置关系(夹角、平行、垂直、点到平面的距离）
直线
方程(点向式、一般式、参数式）
位置关系(夹角、平行、垂直、点到直线的距离）
平面与直线的位置关系(夹角、平行、垂直），平面束
曲面、曲线
曲面方程(一般式、旋转曲面、柱面、二次曲面）
曲线方程(一般式、参数式），投影曲线
典型例题
一、向量的计算
例1 已知两点P1(0，－1，2)和P2(1，2，4)，向量－2P1P2的坐标表达式为，与P1P2方向相同的单位向量为。
解 P1P2=OP2－OP1={1，2，4}－{0，－1，2}={1，3，2}，－2P1P2={－2，－6，－4}。
因，则与P1P2方向相同的单位向量为
例2 设
解 因
例3 设a=i+3j+2k，b=i－2j－3k，c=i+2j，求：
（1） (a×b) c；
（2） (a+b)×(b+c)；
（3） (a b)c－(a c)b。
解（1）
（2）
（3）
例4 已知a=2，b=2，且a b=2，则
解 因，则
所以。于是
例5 已知a={1，4，5}，b={1，1，2}，
（1） 若a+λb垂直于a－λb，求λ；
（2） 若a+λb平行于a－λb，求λ。
解 由(a+λb) (a－λb)=0，得a2－λ2b2=0，故λ2=a2/b2=7，于是
由(a+λb)×(a－λb)=0，得2λ(b×a)=0。而b×a≠0，故λ=0。
例6 求与向量a={2，－1，2}共线且满足a x=－18的向量x。
解 因a与x共线，则。由向量平行的充要条件，存在λ≠0，使得
又a x=－18，得4λ+λ+4λ=－18，于是λ=－2.故x=λa={－4，2，－4}。
二、曲面与曲线
例7 xOy平面上的圆x2+(y－2)2=1绕y轴旋转所生成的旋转曲面的方程为。
解 变量y保持不变，则x2+(y－2)2=1绕y轴旋转所生成的旋转曲面的方程为
例8 曲面4x2+9y2+z2=1与yOz平面的交线为。
解 yOz平面方程是x=0，与曲面4x2+9y2+z2=1联立，消去x，则曲面9y2+z2=1与yOz平面的交线为
例9 将曲线化为参数方程。
解 将z=x代入x2+2y2+(z+2)2=8，得(x+1)2+y2=3.令，得原曲线的参数方程为
例10 求曲线在xOy平面上的投影曲线的方程。
解 由所给方程组消去z，得x=y2+14(1－x)2，即(x－3)2+4y2=8，所以原曲线在xOy平面上的投影曲线为
例11 求曲面z=2x2+y2与z=x2+2x－4y+4所围成的立体在xOy平面上的投影区域。
解 两曲面的交线为
从方程中消去z，得(x－1)2+(y+2)2=9，则曲线C在xOy平面上的投影曲线为
显然，投影曲线是一个圆，所以所求立体在xOy平面上的投影区域就是该圆在xOy面上所围成的部分
三、平面与直线
例12 直线与平面x－y－2z+3=0（）。
（A） 平行；（B） 垂直；（C） 斜交；（D） 直线在平面上。
解 直线的方向向量为s={2，－4，3}，平面的法向量为n={1，-1，－2}，且
n s=2×1－4×(－1)+3×(－2)=0，
即n⊥s，而直线上的点(－1，－2，3)不在平面上，故直线与平面平行。
例13 平面π过z轴，且与平面π0:y－z=0 的夹角为π/3，求平面π的方程。
解 由于平面π过z轴，故设所求平面方程为Ax+By=0。由平面的夹角公式，得
解得A=±B。故设所求平面方程为x+y=0或x－y=0。
例14 求过点(1，2，－3)且同时平行于向量a={2，－1，3}和b={2，－1，2}的平面方程。
解 由于所求平面同时平行于向量a，b，则平面的法向量同时垂直于向量a，b，所以可以取它们的向量积为平面的法向量n，即
故所求的点法式方程为
(x－1)+2(y－2)=0，即x+2y－5=0。
例15 求过点(3，－2，1)且与两平面3x+y－2z－1=0和x+2y－3z+6=0都平行的直线方程。
解 由于所求直线与两平面3x+y－2z－1=0和x+2y－3z+6=0平行，故所求直线的与两平面的法向量n1，n2都垂直，故可取方向向量s为
又所求直线通过点(3，－2，1)，故所求直线的对称式方程为
例16 求直线与平面x+y+2z－4=0的交点和夹角。
解 直线的参数方程为代入平面方程得
1－2t+(－2+t)+2(3t)－4=0，
解得t=1。把t=1代入直线的参数方程，即得所求交点的坐标为(－1，－1，3)。
因直线的方向向量为s={－2，1，3}，平面的法向量为n={1，1，2}，故两者的夹角*满足
故直线与平面夹角为
例17 求点M0(1，－1，0)到直线的距离。
解 方法一 （1）求过点M0且垂直于直线L的平面π。
直线L的参数方程与对称式方程分别为
故过点M0且垂直于直线L的平面π为
3(x－1)+3(y+1)+2z=0。
（2）求出直线L与平面π的交点M1。
将直线L的参数方程代入平面π，得t=1/11。回代入参数方程得L与π的交点为
（3）求距离d=|M0M1|。
由两点间距离公式，点到直线的距离为
方法二 利用公式计算。
方法三 直线L的参数方程为。直线上任一M(x，y，z)与M0(1，－1，0)的距离的平方和为
其最小值为31/11，故点M0(1，－1，0)到直线L的距离为
| ISBN | 9787030538529 |
|---|---|
| 出版社 | 科学出版社 |
| 作者 | 曹殿立 |
| 尺寸 | 5 |